Bedingte Wahrscheinlichkeit - Versionsgeschichte

Flbkwikiadmin: /* Medizinischer Test (mit Vierfeldertafel) */

2025-06-13T05:39:21Z

Medizinischer Test (mit Vierfeldertafel)

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	Alternative Berechnung mit dem '''Satz von Bayes''':		Alternative Berechnung mit dem '''Satz von Bayes''':

	Zuerst berechnen wir <math>P(T)</math>:		Zuerst berechnen wir <math>P(T)</math>:

Flbkwikiadmin: /* Medizinischer Test (mit Vierfeldertafel) */

2025-06-13T05:39:04Z

Medizinischer Test (mit Vierfeldertafel)

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	:<math>P_T(K) = \frac{P(K \cap T)}{P(T)} = \frac{0,019}{0,117} \approx 16,2\%</math>		:<math>P_T(K) = \frac{P(K \cap T)}{P(T)} = \frac{0,019}{0,117} \approx 16,2\%</math>

	Alternative Berechnung mit dem Satz von Bayes:		Alternative Berechnung mit dem '''Satz von Bayes''':
	Zuerst berechnen wir <math>P(T)</math>:		Zuerst berechnen wir <math>P(T)</math>:

Flbkwikiadmin: /* Beispiele */

2025-06-13T05:38:50Z

Beispiele

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 Die Wahrscheinlichkeit krank zu sein bei positivem Test ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit:
 :<math>P_T(K) = \frac{P(K \cap T)}{P(T)} = \frac{0,019}{0,117} \approx 16,2\%</math>
 === Würfelbeispiel zur stochastischen Unabhängigkeit ===

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2025-06-13T05:36:14Z

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	<math>P_B(A) = \frac{a}{a+c}</math> berechnen.		<math>P_B(A) = \frac{a}{a+c}</math> berechnen.

			== Satz von Bayes ==
			Es seien <math>A, B</math> Ereignisse mit <math>P(B) > 0</math>. Die Wahrscheinlichkeiten <math>P_A(B)</math>, <math>P(A)</math> und <math>P(B)</math> seien gegeben. Die Wahrscheinlichkeit von <math>A</math> unter der Bedingung <math>B</math> wird dann durch

			:<math>P_B(A) = \frac{P_A(B) \cdot P(A)}{P(B)}</math>

			berechnet.
	== Beispiele ==		== Beispiele ==

Flbkwikiadmin: Die Seite wurde neu angelegt: „ == Definition == Die '''bedingte Wahrscheinlichkeit''' $P_B(A)$ bzw. $P(A|B)$ beschreibt die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses $A$ unter der Voraussetzung, dass ein anderes Ereignis $B$ bereits eingetreten ist. Wir sagen auch "Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B". Es seien $A, B$ Ereignisse mit $P(B)>0)$ , dann gilt : $P_B(A) = \frac{P(A \c…“$

2025-05-14T07:09:58Z

Die Seite wurde neu angelegt: „ == Definition == Die '''bedingte Wahrscheinlichkeit''' <math>P_B(A)</math> bzw. <math>P(A|B)</math> beschreibt die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses <math>A</math> unter der Voraussetzung, dass ein anderes Ereignis <math>B</math> bereits eingetreten ist. Wir sagen auch "Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B". Es seien <math>A, B</math> Ereignisse mit <math>P(B)>0)</math>, dann gilt :<math>P_B(A) = \frac{P(A \c…“

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== Definition ==
Die '''bedingte Wahrscheinlichkeit''' <math>P_B(A)</math> bzw. <math>P(A|B)</math> beschreibt die Wahrscheinlichkeit eines [[Zufallsexperiment#Ereignis|Ereignisses]] <math>A</math> unter der Voraussetzung, dass ein anderes Ereignis <math>B</math> bereits eingetreten ist. Wir sagen auch "Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B".

Es seien <math>A, B</math> Ereignisse mit <math>P(B)>0)</math>, dann gilt
:<math>P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}</math>

== Stochastische Unabhängigkeit ==
Zwei Ereignisse A und B heißen '''stochastisch unabhängig''', wenn
:<math>P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)</math>
gilt.

Dies bedeutet, dass das Eintreten von B die Wahrscheinlichkeit von A nicht beeinflusst. Für bedingte Wahrscheinlichkeiten bei unabhängigen Ereignissen gilt <math>P_B(A) = P(A)</math> und <math>P_A(B) = P(B)</math>.

== Zusammenhang mit der Vierfeldertafel ==
Die [[Vierfeldertafel]] eignet sich besonders gut zur Veranschaulichung bedingter Wahrscheinlichkeiten und zur Überprüfung auf stochastische Unabhängigkeit:

{| class="wikitable"
| || <math>B</math> || <math>\bar{B}</math> || <math>\sum</math>
|-
| <math>A</math> || <math>a</math> || <math>b</math> || <math>a+b</math>
|-
| <math>\bar{A}</math> || <math>c</math> || <math>d</math> || <math>c+d</math>
|-
| <math>\sum</math> || <math>a+c</math> || <math>b+d</math> || '''1'''
|}

Die bedingte Wahrscheinlichkeit <math>P_B(A)</math> lässt sich dann durch
<math>P_B(A) = \frac{a}{a+c}</math> berechnen.

== Beispiele ==

=== Medizinischer Test (mit Vierfeldertafel) ===
Fortsetzung des Beispiels aus der [[Vierfeldertafel#Medizinischer_Test|Vierfeldertafel]]:
* Sensitivität <math>P_K(T) = 0,95</math>
* Spezifität <math>P_{\bar{K}}(\bar{T}) = 0,90</math>
* Prävalenz <math>P(K) = 0,02</math>

Die Wahrscheinlichkeit krank zu sein bei positivem Test ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit:
:<math>P_T(K) = \frac{P(K \cap T)}{P(T)} = \frac{0,019}{0,117} \approx 16,2\%</math>

=== Würfelbeispiel zur stochastischen Unabhängigkeit ===
Betrachtet man zwei Ereignisse beim Würfeln:
* A: "Gerade Zahl" = {2,4,6} → <math>P(A) = 0,5</math>
* B: "Zahl > 3" = {4,5,6} → <math>P(B) = 0,5</math>

Schnittmenge: <math>A \cap B</math> = {4,6} → <math>P(A \cap B) = \frac{2}{6} \approx 0,333</math>

Da <math>P(A) \cdot P(B) = 0,25 \neq 0,333</math>, sind die Ereignisse nicht stochastisch unabhängig.

Die bedingte Wahrscheinlichkeit:
<math>P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0,333}{0,5} \approx 0,666</math>

=== Münzwurfbeispiel zur stochastischen Unabhängigkeit ===
Bei zwei Münzwürfen:
* A: "Erster Wurf Kopf" → <math>P(A) = 0,5</math>
* B: "Zweiter Wurf Zahl" → <math>P(B) = 0,5</math>

Da die Würfe unabhängig sind:
<math>P(A \cap B) = 0,25 = P(A) \cdot P(B)</math>

Die bedingte Wahrscheinlichkeit:
<math>P_B(A) = \frac{0,25}{0,5} = 0,5 = P(A)</math> (wie erwartet bei stochastischer Unabhängigkeit)

[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]