Bedingte Wahrscheinlichkeit - Versionsgeschichte

Flbkwikiadmin am 27. Mai 2026 um 07:43 Uhr

2026-05-27T07:43:15Z

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	== Definition ==		== Definition ==
	Die '''bedingte Wahrscheinlichkeit''' <math>P_B(A)</math> bzw. <math>P(A\|B)</math> beschreibt die Wahrscheinlichkeit eines [[Zufallsexperiment#Ereignis\|Ereignisses]] <math>A</math> unter der Voraussetzung, dass ein anderes Ereignis <math>B</math> bereits eingetreten ist. Wir sagen auch "Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B".		Die '''bedingte Wahrscheinlichkeit''' <math>P_B(A)</math> bzw. <math>P(A\|B)</math> beschreibt die Wahrscheinlichkeit eines [[Zufallsexperiment#Ereignis\|Ereignisses]] <math>A</math> unter der Voraussetzung, dass ein anderes Ereignis <math>B</math> bereits eingetreten ist. Wir sagen auch "Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B".

	Es seien <math>A, B</math> Ereignisse mit <math>P(B)>0)</math>, dann gilt		Es seien <math>A, B</math> Ereignisse mit <math>P(B) > 0</math>, dann gilt:
	:<math>P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}</math>		:<math>P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}</math>

	== Stochastische Unabhängigkeit ==		== Stochastische Unabhängigkeit ==
	Zwei Ereignisse A und B heißen '''stochastisch unabhängig''', wenn		Zwei Ereignisse <math>A</math> und <math>B</math> heißen '''stochastisch unabhängig''', wenn
	:<math>P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)</math>		:<math>P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)</math>
	gilt.		gilt.

	Dies bedeutet, dass das Eintreten von B die Wahrscheinlichkeit von A nicht beeinflusst. Für bedingte Wahrscheinlichkeiten bei unabhängigen Ereignissen gilt <math>P_B(A) = P(A)</math> und <math>P_A(B) = P(B)</math>.		Dies bedeutet, dass das Eintreten von <math>B</math> die Wahrscheinlichkeit von <math>A</math> nicht beeinflusst. Für bedingte Wahrscheinlichkeiten bei stochastisch unabhängigen Ereignissen gilt demnach (vorausgesetzt die Wahrscheinlichkeiten sind größer als 0):
			:<math>P_B(A) = P(A)</math> und <math>P_A(B) = P(B)</math>.

	== Zusammenhang mit der Vierfeldertafel ==		== Zusammenhang mit der Vierfeldertafel ==
	Die [[Vierfeldertafel]] eignet sich besonders gut zur Veranschaulichung bedingter Wahrscheinlichkeiten und zur Überprüfung auf stochastische Unabhängigkeit:		Die [[Vierfeldertafel]] eignet sich besonders gut zur Veranschaulichung bedingter Wahrscheinlichkeiten und zur Überprüfung auf stochastische Unabhängigkeit.

			Hierbei stehen die Variablen <math>a, b, c, d</math> für die Wahrscheinlichkeiten der jeweiligen Schnittmengen (z. B. <math>a = P(A \cap B)</math>):

	{\| class="wikitable"		{\| class="wikitable"
	\| \|\| <math>B</math> \|\| <math>\bar{B}</math> \|\| <math>\sum</math>		\| \|\| <math>B</math> \|\| <math>\bar{B}</math> \|\| <math>\sum</math>
	\|-		\|-
	\| <math>A</math> \|\| <math>a</math> \|\| <math>b</math> \|\| <math>a+b</math>		\| <math>A</math> \|\| <math>a</math> \|\| <math>b</math> \|\| <math>a+b</math>
	\|-		\|-
	\| <math>\bar{A}</math> \|\| <math>c</math> \|\| <math>d</math> \|\| <math>c+d</math>		\| <math>\bar{A}</math> \|\| <math>c</math> \|\| <math>d</math> \|\| <math>c+d</math>
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	\|}		\|}

	Die bedingte Wahrscheinlichkeit <math>P_B(A)</math> lässt sich dann durch		Die bedingte Wahrscheinlichkeit <math>P_B(A)</math> lässt sich dann direkt aus der Tafel ablesen und berechnen durch:
	<math>P_B(A) = \frac{a}{a+c}</math> ~~berechnen.~~		:<math>P_B(A) = \frac{a}{a+c}</math>

	== Satz von Bayes ==		== Satz von Bayes ==
	Es seien <math>A, B</math> Ereignisse mit <math>P(B) > 0</math>. Die Wahrscheinlichkeiten <math>P_A(B)</math>, <math>P(A)</math> und <math>P(B)</math> seien gegeben. Die Wahrscheinlichkeit von <math>A</math> unter der Bedingung <math>B</math> wird dann durch		Es seien <math>A</math> und <math>B</math> Ereignisse mit <math>P(B) > 0</math>. Die Wahrscheinlichkeiten <math>P_A(B)</math>, <math>P(A)</math> und <math>P(\bar{A})</math> seien gegeben. Die Wahrscheinlichkeit von <math>A</math> unter der Bedingung <math>B</math> wird dann durch

	:<math>P_B(A) = \frac{P_A(B) \cdot P(A)}{P(B)}</math>		:<math>P_B(A) = \frac{P_A(B) \cdot P(A)}{P(B)}</math>

	berechnet.		berechnet. Oftmals ist <math>P(B)</math> nicht direkt gegeben und muss über das Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit (die Pfadadditionsregel im Baumdiagramm) ermittelt werden. Die erweiterte Formel lautet dann:

			:<math>P_B(A) = \frac{P_A(B) \cdot P(A)}{P_A(B) \cdot P(A) + P_{\bar{A}}(B) \cdot P(\bar{A})}</math>

	== Beispiele ==		== Beispiele ==

Zeile 41:		Zeile 46:
	* Sensitivität <math>P_K(T) = 0,95</math>		* Sensitivität <math>P_K(T) = 0,95</math>
	* Spezifität <math>P_{\bar{K}}(\bar{T}) = 0,90</math>		* Spezifität <math>P_{\bar{K}}(\bar{T}) = 0,90</math>
	* Prävalenz <math>P(K) = 0,02</math>		* Prävalenz (Krankheitsrate) <math>P(K) = 0,02</math>

	Die Wahrscheinlichkeit krank zu sein bei positivem Test ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit:		Die Wahrscheinlichkeit krank zu sein bei positivem Test ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit:
	:<math>P_T(K) = \frac{P(K \cap T)}{P(T)} = \frac{0,019}{0,117} \approx 16,2\%</math>		:<math>P_T(K) = \frac{P(K \cap T)}{P(T)} = \frac{0,019}{0,117} \approx 16,2\%</math>

	Alternative Berechnung mit dem '''Satz von Bayes''':		Alternative Berechnung direkt mit dem '''Satz von Bayes''':

	~~Zuerst berechnen wir <math>P(T)</math>~~:

			Zuerst berechnen wir <math>P(T)</math> über die totale Wahrscheinlichkeit:
	:<math>P(T) = P_K(T) \cdot P(K) + P_{\bar{K}}(T) \cdot P(\bar{K})</math>		:<math>P(T) = P_K(T) \cdot P(K) + P_{\bar{K}}(T) \cdot P(\bar{K})</math>
	:<math>P(T) = 0,95 \cdot 0,02 + (1 - 0,90) \cdot 0,98 = 0,019 + 0,098 = 0,117</math>		:<math>P(T) = 0,95 \cdot 0,02 + (1 - 0,90) \cdot 0,98 = 0,019 + 0,098 = 0,117</math>

	Nun wenden wir den Satz von Bayes an:		Nun wenden wir den Satz von Bayes an:

	:<math>P_T(K) = \frac{P_K(T) \cdot P(K)}{P(T)} = \frac{0,95 \cdot 0,02}{0,117} \approx 0,162</math>		:<math>P_T(K) = \frac{P_K(T) \cdot P(K)}{P(T)} = \frac{0,95 \cdot 0,02}{0,117} \approx 0,162</math>

	Interpretation: Trotz eines positiven Testergebnisses beträgt die Wahrscheinlichkeit, tatsächlich krank zu sein, nur etwa 16,2 % – ~~aufgrund~~ der niedrigen Prävalenz.		'''Interpretation:''' Trotz eines positiven Testergebnisses beträgt die Wahrscheinlichkeit, tatsächlich krank zu sein, nur etwa 16,2 % – dies liegt an der niedrigen Prävalenz (seltene Krankheit) in Kombination mit der Fehlerquote des Tests.

	=== Würfelbeispiel zur stochastischen Unabhängigkeit ===		=== Würfelbeispiel zur stochastischen Unabhängigkeit ===
	Betrachtet man zwei Ereignisse ~~beim Würfeln~~:		Betrachtet man zwei Ereignisse bei einem fairen sechsseitigen Würfel:
	* A: "Gerade Zahl" = {2,4,6} → <math>P(A) = ~~0,5~~</math>		* A: "Gerade Zahl" = {2,4,6} → <math>P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}</math>
	* B: "Zahl > 3" = {4,5,6} → <math>P(B) = ~~0,5~~</math>		* B: "Zahl > 3" = {4,5,6} → <math>P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}</math>

	Schnittmenge: <math>A \cap B</math> = {4,6} → <math>P(A \cap B) = \frac{2}{6} \~~approx 0,333~~</math>		Schnittmenge: <math>A \cap B</math> = {4,6} → <math>P(A \cap B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}</math>

	Da <math>P(A) \cdot P(B) = ~~0,25~~ \neq ~~0,333~~</math>, sind die Ereignisse nicht stochastisch unabhängig.		Wir prüfen auf stochastische Unabhängigkeit:
			:<math>P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}</math>
			Da <math>\frac{1}{4} \neq \frac{1}{3}</math>, sind die Ereignisse '''nicht''' stochastisch unabhängig.

	Die bedingte Wahrscheinlichkeit:		Die bedingte Wahrscheinlichkeit berechnet sich zu:
	<math>P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{~~0,333~~}{~~0,5~~} \approx 0,~~666~~</math>		:<math>P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1/3}{1/2} = \frac{2}{3} \approx 66,7\%</math>

	=== Münzwurfbeispiel zur stochastischen Unabhängigkeit ===		=== Münzwurfbeispiel zur stochastischen Unabhängigkeit ===
Zeile 76:		Zeile 81:
	* B: "Zweiter Wurf Zahl" → <math>P(B) = 0,5</math>		* B: "Zweiter Wurf Zahl" → <math>P(B) = 0,5</math>

	Da die Würfe unabhängig sind:		Da die Würfe voneinander unabhängig sind, gilt für die Schnittmenge:
	<math>P(A \cap B) ~~= 0,25~~ = P(A) \cdot P(B)</math>		:<math>P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0,5 \cdot 0,5 = 0,25</math>

	Die bedingte Wahrscheinlichkeit:		Die bedingte Wahrscheinlichkeit ergibt entsprechend:
	<math>P_B(A) = \frac{0,25}{0,5} = 0,5 = P(A)</math> (~~wie erwartet~~ bei stochastischer Unabhängigkeit)		:<math>P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0,25}{0,5} = 0,5 = P(A)</math>
			(Dies ist das zu erwartende Resultat bei stochastischer Unabhängigkeit, da Vorwissen B das Eintreten von A nicht beeinflusst).

	[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]		[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
	[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]		[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]

Flbkwikiadmin: /* Medizinischer Test (mit Vierfeldertafel) */

2025-06-13T05:39:21Z

Medizinischer Test (mit Vierfeldertafel)

← Nächstältere Version		Version vom 13. Juni 2025, 07:39 Uhr
Zeile 47:		Zeile 47:

	Alternative Berechnung mit dem '''Satz von Bayes''':		Alternative Berechnung mit dem '''Satz von Bayes''':

	Zuerst berechnen wir <math>P(T)</math>:		Zuerst berechnen wir <math>P(T)</math>:

Flbkwikiadmin: /* Medizinischer Test (mit Vierfeldertafel) */

2025-06-13T05:39:04Z

Medizinischer Test (mit Vierfeldertafel)

← Nächstältere Version		Version vom 13. Juni 2025, 07:39 Uhr
Zeile 46:		Zeile 46:
	:<math>P_T(K) = \frac{P(K \cap T)}{P(T)} = \frac{0,019}{0,117} \approx 16,2\%</math>		:<math>P_T(K) = \frac{P(K \cap T)}{P(T)} = \frac{0,019}{0,117} \approx 16,2\%</math>

	Alternative Berechnung mit dem Satz von Bayes:		Alternative Berechnung mit dem '''Satz von Bayes''':
	Zuerst berechnen wir <math>P(T)</math>:		Zuerst berechnen wir <math>P(T)</math>:

Flbkwikiadmin: /* Beispiele */

2025-06-13T05:38:50Z

Beispiele

@@ Zeile 45: / Zeile 45: @@
 Die Wahrscheinlichkeit krank zu sein bei positivem Test ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit:
 :<math>P_T(K) = \frac{P(K \cap T)}{P(T)} = \frac{0,019}{0,117} \approx 16,2\%</math>
 === Würfelbeispiel zur stochastischen Unabhängigkeit ===

Flbkwikiadmin am 13. Juni 2025 um 05:36 Uhr

2025-06-13T05:36:14Z

← Nächstältere Version		Version vom 13. Juni 2025, 07:36 Uhr
Zeile 29:		Zeile 29:
	<math>P_B(A) = \frac{a}{a+c}</math> berechnen.		<math>P_B(A) = \frac{a}{a+c}</math> berechnen.

			== Satz von Bayes ==
			Es seien <math>A, B</math> Ereignisse mit <math>P(B) > 0</math>. Die Wahrscheinlichkeiten <math>P_A(B)</math>, <math>P(A)</math> und <math>P(B)</math> seien gegeben. Die Wahrscheinlichkeit von <math>A</math> unter der Bedingung <math>B</math> wird dann durch

			:<math>P_B(A) = \frac{P_A(B) \cdot P(A)}{P(B)}</math>

			berechnet.
	== Beispiele ==		== Beispiele ==

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2025-05-14T07:09:58Z

Die Seite wurde neu angelegt: „ == Definition == Die '''bedingte Wahrscheinlichkeit''' <math>P_B(A)</math> bzw. <math>P(A|B)</math> beschreibt die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses <math>A</math> unter der Voraussetzung, dass ein anderes Ereignis <math>B</math> bereits eingetreten ist. Wir sagen auch "Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B". Es seien <math>A, B</math> Ereignisse mit <math>P(B)>0)</math>, dann gilt :<math>P_B(A) = \frac{P(A \c…“

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== Definition ==
Die '''bedingte Wahrscheinlichkeit''' <math>P_B(A)</math> bzw. <math>P(A|B)</math> beschreibt die Wahrscheinlichkeit eines [[Zufallsexperiment#Ereignis|Ereignisses]] <math>A</math> unter der Voraussetzung, dass ein anderes Ereignis <math>B</math> bereits eingetreten ist. Wir sagen auch "Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B".

Es seien <math>A, B</math> Ereignisse mit <math>P(B)>0)</math>, dann gilt
:<math>P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}</math>

== Stochastische Unabhängigkeit ==
Zwei Ereignisse A und B heißen '''stochastisch unabhängig''', wenn
:<math>P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)</math>
gilt.

Dies bedeutet, dass das Eintreten von B die Wahrscheinlichkeit von A nicht beeinflusst. Für bedingte Wahrscheinlichkeiten bei unabhängigen Ereignissen gilt <math>P_B(A) = P(A)</math> und <math>P_A(B) = P(B)</math>.

== Zusammenhang mit der Vierfeldertafel ==
Die [[Vierfeldertafel]] eignet sich besonders gut zur Veranschaulichung bedingter Wahrscheinlichkeiten und zur Überprüfung auf stochastische Unabhängigkeit:

{| class="wikitable"
| || <math>B</math> || <math>\bar{B}</math> || <math>\sum</math>
|-
| <math>A</math> || <math>a</math> || <math>b</math> || <math>a+b</math>
|-
| <math>\bar{A}</math> || <math>c</math> || <math>d</math> || <math>c+d</math>
|-
| <math>\sum</math> || <math>a+c</math> || <math>b+d</math> || '''1'''
|}

Die bedingte Wahrscheinlichkeit <math>P_B(A)</math> lässt sich dann durch
<math>P_B(A) = \frac{a}{a+c}</math> berechnen.

== Beispiele ==

=== Medizinischer Test (mit Vierfeldertafel) ===
Fortsetzung des Beispiels aus der [[Vierfeldertafel#Medizinischer_Test|Vierfeldertafel]]:
* Sensitivität <math>P_K(T) = 0,95</math>
* Spezifität <math>P_{\bar{K}}(\bar{T}) = 0,90</math>
* Prävalenz <math>P(K) = 0,02</math>

Die Wahrscheinlichkeit krank zu sein bei positivem Test ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit:
:<math>P_T(K) = \frac{P(K \cap T)}{P(T)} = \frac{0,019}{0,117} \approx 16,2\%</math>

=== Würfelbeispiel zur stochastischen Unabhängigkeit ===
Betrachtet man zwei Ereignisse beim Würfeln:
* A: "Gerade Zahl" = {2,4,6} → <math>P(A) = 0,5</math>
* B: "Zahl > 3" = {4,5,6} → <math>P(B) = 0,5</math>

Schnittmenge: <math>A \cap B</math> = {4,6} → <math>P(A \cap B) = \frac{2}{6} \approx 0,333</math>

Da <math>P(A) \cdot P(B) = 0,25 \neq 0,333</math>, sind die Ereignisse nicht stochastisch unabhängig.

Die bedingte Wahrscheinlichkeit:
<math>P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0,333}{0,5} \approx 0,666</math>

=== Münzwurfbeispiel zur stochastischen Unabhängigkeit ===
Bei zwei Münzwürfen:
* A: "Erster Wurf Kopf" → <math>P(A) = 0,5</math>
* B: "Zweiter Wurf Zahl" → <math>P(B) = 0,5</math>

Da die Würfe unabhängig sind:
<math>P(A \cap B) = 0,25 = P(A) \cdot P(B)</math>

Die bedingte Wahrscheinlichkeit:
<math>P_B(A) = \frac{0,25}{0,5} = 0,5 = P(A)</math> (wie erwartet bei stochastischer Unabhängigkeit)

[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]