Quelltext der Seite Histogramm

Die [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] eines [[Zufallsexperiment|Zufallsexperiments]] wird durch ein Histogramm visualisiert. 

==Definition==
Es sei die [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] zu einem [[Zufallsexperiment]] gegeben. Ein [[Säulendiagramm]], bei dem der Flächeninhalt einer Säule die Wahrscheinlichkeit des dazugehörigen Ergebnisses ist, heißt '''Histogramm'''. Die Höhe einer Säule wird als '''Wahrscheinlichkeitsdichte''' <math>\rho</math> (roh) bezeichnet. Die Breite einer Säule gibt an, wie viele Ergebnisse durch die Säule repräsentiert werden. Somit ergibt die Wahrscheinlichkeitsdichte <math>\rho_K</math> multipliziert mit der Breite <math>b_K</math> die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses <math>K</math>; <math>P(K)=\rho_K\cdot b_K</math>.

<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/rOWqpAA0pnE?si=GdtJ7rrgggzEhk56" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>

==Beispiel==
===Histogramm zum dreifachen Münzwurf===
Die folgenden beiden Histogramme visualisieren die Wahrscheinlichkeiten zum Zufallsexperiment des dreifachen Münzwurfs.

<gallery widths=300px heights=150px>
Datei:WahrscheinlichkeitsrechnungHisto1.png
Datei:WahrscheinlichkeitsrechnungHisto2.png
</gallery>
===Histogramm der Binomialverteilung===
Die folgende interaktive Grafik zeigt das Histogramm der [[Binomialverteilung|<math>B(n;p;k)</math>]]-verteilten [[Zufallsvariable|Zufallsvariablen]] <math>X</math> sowie eine grafische Darstellung der [[Binomialverteilung#Sigmaregeln|Sigmaregeln]]. Dabei gilt
*<math>P\left(\mu-\sigma\leq X\leq \mu+\sigma\right)=P(|X-\mu|\leq \sigma)\approx0,683</math>, d. h. die Werte der Zufallsvariablen <math>X</math> liegen mit einer Wahrscheinlichkeit von ungefähr 68,3 % im Intervall <math>[\mu-\sigma;\mu+\sigma]</math>. 
*<math>P\left(\mu-2\sigma\leq X\leq \mu+2\sigma\right)=P(|X-\mu|\leq 2\sigma)\approx0,955</math>, d. h. die Werte der Zufallsvariablen <math>X</math> liegen mit einer Wahrscheinlichkeit von ungefähr 95,5 % im Intervall <math>[\mu-2\sigma;\mu+2\sigma]</math>.  
*<math>P\left(\mu-3\sigma\leq X\leq\mu+3\sigma\right)=P(|X-\mu|\leq 3\sigma)\approx0,997</math> mit <math>\sigma \geq 3</math> , d. h. die Werte der Zufallsvariablen <math>X</math> liegen mit einer Wahrscheinlichkeit von ungefähr 99,7 % im Intervall <math>[\mu-3\sigma;\mu+3\sigma]</math>. Die Wahrscheinlichkeit <math>P(X \leq k)</math> wird berechnet, indem die Höhen aller Säulen, die zu Werten gehören, die kleiner oder gleich <math>k</math> sind, addiert werden.
<html>
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    JXG.Options.text.useMathJax = true;
    // Board initialisieren
    var brd = JXG.JSXGraph.initBoard('binomBoard', {
        axis: true,
        boundingbox: [-6.5, 0.2, 50, -0.05],
        showCopyright: false,
        showNavigation: false,
        defaultAxes: {
            x: {
                withLabel: true,
                name: 'k',
                label: {
                    position: 'rt',
                    offset: [5, 15],
                    fontSize: 12
                }
            },
            y: {
                withLabel: true,
                name: 'P(X = k)',
                label: {
                    position: 'rt',
                    offset: [-45, -5],
                    fontSize: 12
                }
            }
        }
    });

    // --- Slider ---
    // n-Slider
    var nSlider = brd.create('slider', [[5, 0.185], [40, 0.185], [50, 150, 200]], {
        name: 'n',
        snapWidth: 1,
        fillColor: 'white',
        strokeColor: '#3498db',
        highlightStrokeColor: '#3498db',
        baseline: {strokeColor: '#3498db', strokeWidth: 2},
        highline: {strokeColor: '#2980b9', strokeWidth: 3}
    });

    // p-Slider
    var pSlider = brd.create('slider', [[5, 0.175], [40, 0.175], [0, 0.1, 0.2]], {
        name: 'p',
        snapWidth: 0.01,
        fillColor: 'white',
        strokeColor: '#e74c3c',
        highlightStrokeColor: '#e74c3c',
        baseline: {strokeColor: '#e74c3c', strokeWidth: 2},
        highline: {strokeColor: '#c0392b', strokeWidth: 3}
    });

    // k-Slider (neu)
    var kSlider = brd.create('slider', [[5, 0.165], [40, 0.165], [0, 10, 50]], {
        name: 'k',
        snapWidth: 1,
        fillColor: 'white',
        strokeColor: '#2ecc71',
        highlightStrokeColor: '#2ecc71',
        baseline: {strokeColor: '#2ecc71', strokeWidth: 2},
        highline: {strokeColor: '#27ae60', strokeWidth: 3}
    });

    // --- Hilfsfunktionen ---
    function binomProb(n, k, p) {
        var x, p1 = 1,
        p2 = 1,
        coeff = 1; 
        for (x = n - k + 1; x < n + 1; x++) {
             coeff *= x;
         }
         for (x = 1; x < k + 1; x++) {
             coeff /= x;
         } 
         for (x = 0; x < k; x++) {
             p1 *= p;
         } 
         for (x = 0; x < n - k; x++) {
             p2 *= (1 - p);
         } 
         return coeff * p1 * p2;
    }

    // Berechne Erwartungswert und Standardabweichung
    function getMu() {
        var n = Math.round(nSlider.Value());
        var p = pSlider.Value();
        return n * p;
    }

    function getSigma() {
        var n = Math.round(nSlider.Value());
        var p = pSlider.Value();
        return Math.sqrt(n * p * (1 - p));
    }

    // --- Balken vorbereiten ---
    var maxBars = 200;
    var bars = [];
    for (let k = 0; k <= maxBars; k++) {
        let heightF = function() {
            var n = Math.round(nSlider.Value());
            var p = pSlider.Value();
            if (k > n || k > 75) return 0;
            return binomProb(n, k, p);
        };

        // Alle Balken in orange
        let colorF = function() {
            return '#ffaa44';
        };

        var poly = brd.create('polygon', [
            [k - 0.5, 0],
            [k - 0.5, heightF],
            [k + 0.5, heightF],
            [k + 0.5, 0]
        ], {
            withLines: true,
            borders: {strokeWidth: 1, strokeColor: '#cc8800'},
            fillOpacity: 0.7,
            fillColor: colorF,
            vertices: {visible: false},
            visible: function() {
              if (k <= Math.round(nSlider.Value())) {
                  return k <= 75;
              }
              return false;
            }
        });

        bars.push(poly);
    }

    // --- Sigmaregeln Visualisierung ---
    // Vertikale Linien für μ, μ±σ, μ±2σ, μ±3σ (nur unterhalb der x-Achse)
    var muLine = brd.create('segment', [
        function() { return [getMu(), 0]; },
        function() { return [getMu(), -0.005]; }
    ], {
        strokeColor: '#0000ff',
        strokeWidth: 2,
        dash: 1
    });

    var muPlusSigmaLine = brd.create('segment', [
        function() { return [getMu() + getSigma(), 0]; },
        function() { return [getMu() + getSigma(), -0.015]; }
    ], {
        strokeColor: '#007700',
        strokeWidth: 2,
        dash: 1
    });

    var muMinusSigmaLine = brd.create('segment', [
        function() { return [getMu() - getSigma(), 0]; },
        function() { return [getMu() - getSigma(), -0.015]; }
    ], {
        strokeColor: '#007700',
        strokeWidth: 2,
        dash: 1
    });

    var muPlus2SigmaLine = brd.create('segment', [
        function() { return [getMu() + 2 * getSigma(), 0]; },
        function() { return [getMu() + 2 * getSigma(), -0.025]; }
    ], {
        strokeColor: '#aa5500',
        strokeWidth: 2,
        dash: 1
    });

    var muMinus2SigmaLine = brd.create('segment', [
        function() { return [getMu() - 2 * getSigma(), 0]; },
        function() { return [getMu() - 2 * getSigma(), -0.025]; }
    ], {
        strokeColor: '#aa5500',
        strokeWidth: 2,
        dash: 1
    });

    var muPlus3SigmaLine = brd.create('segment', [
        function() { return [getMu() + 3 * getSigma(), 0]; },
        function() { return [getMu() + 3 * getSigma(), -0.035]; }
    ], {
        strokeColor: '#aa0000',
        strokeWidth: 2,
        dash: 1
    });

    var muMinus3SigmaLine = brd.create('segment', [
        function() { return [getMu() - 3 * getSigma(), 0]; },
        function() { return [getMu() - 3 * getSigma(), -0.035]; }
    ], {
        strokeColor: '#aa0000',
        strokeWidth: 2,
        dash: 1
    });

    // Beschriftungen für die Sigmaregeln (nach unten versetzt)
    brd.create('text', [function() { return getMu(); }, -0.0075, 'μ'], {
        anchorX: 'middle',
        fontSize: 12,
        strokeColor: '#0000ff'
    });
    
    brd.create('text', [function() { return getMu() + getSigma(); }, -0.0175, 'μ+σ'], {
        anchorX: 'middle',
        fontSize: 12,
        strokeColor: '#007700'
    });
    
    brd.create('text', [function() { return getMu() - getSigma(); }, -0.0175, 'μ-σ'], {
        anchorX: 'middle',
        fontSize: 12,
        strokeColor: '#007700'
    });
    
    brd.create('text', [function() { return getMu() + 2 * getSigma(); }, -0.0275, 'μ+2σ'], {
        anchorX: 'middle',
        fontSize: 12,
        strokeColor: '#aa5500'
    });
    
    brd.create('text', [function() { return getMu() - 2 * getSigma(); }, -0.0275, 'μ-2σ'], {
        anchorX: 'middle',
        fontSize: 12,
        strokeColor: '#aa5500'
    });
    
    brd.create('text', [function() { return getMu() + 3 * getSigma(); }, -0.0375, 'μ+3σ'], {
        anchorX: 'middle',
        fontSize: 12,
        strokeColor: '#aa0000'
    });
    
    brd.create('text', [function() { return getMu() - 3 * getSigma(); }, -0.0375, 'μ-3σ'], {
        anchorX: 'middle',
        fontSize: 12,
        strokeColor: '#aa0000'
    });

    // Anzeige von P(X=k), μ und σ (oben rechts)
    brd.create('text', [30, 0.15, function() { 
        var n = Math.round(nSlider.Value());
        var p = pSlider.Value();
        var k = Math.round(kSlider.Value());
        return 'P(X = ' + k + ') = ' + binomProb(n, k, p).toFixed(6); 
    }], {
        anchorX: 'left',
        fontSize: 12,
        fixed: true
    });
    
    brd.create('text', [30, 0.14, function() { return 'μ = n·p=' + getMu().toFixed(2); }], {
        anchorX: 'left',
        fontSize: 12,
        fixed: true
    });
    
    brd.create('text', [30, 0.13, function() { return 'σ = √(n·p·(1-p))=' + getSigma().toFixed(2); }], {
        anchorX: 'left',
        fontSize: 12,
        fixed: true
    });

brd.create('text', [30, 0.12, function() { return 'P(|X-' + getMu().toFixed(2) + '|\u2264' + getSigma().toFixed(2) + ') \u2248 0,683';}], {
        anchorX: 'left',
        fontSize: 12,
        fixed: true,
        strokeColor: '#007700'
    });

brd.create('text', [30, 0.11, function() { return 'P(|X-' + getMu().toFixed(2) + '|\u2264 2·' + getSigma().toFixed(2) + ') \u2248 0,955';}], {
        anchorX: 'left',
        fontSize: 12,
        fixed: true,
        strokeColor: '#aa5500'
    });

brd.create('text', [30, 0.1, function() { return 'P(|X-' + getMu().toFixed(2) + '|\u2264 3·' + getSigma().toFixed(2) + ') \u2248 0,997';}], {
        anchorX: 'left',
        fontSize: 12,
        fixed: true,
        strokeColor: '#aa0000'
    });
</script>
</html>
<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/Lc_R0vBSKHw?si=V72WfOUjhQRQlrN9" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>

[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
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[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]