Quelltext der Seite Gewinnfunktion

Mit Hilfe einer Gewinnfunktion wird der Gewinn für eine bestimmte Produktionsmenge ermittelt. Der Gewinn berechnet sich durch Erlös minus Kosten.

== Definition ==
Eine [[Funktion]] <math>G:\mathbb{D}_{\text{ök}} \rightarrow \mathbb{W}_G</math>, die jeder Produktionsmenge <math>x</math> den Gewinn <math>G(x)</math> zuordnet, heißt '''Gewinnfunktion'''. Dabei ist <math>x \in \mathbb{D}_{\text{ök}}=[0;x_{\text{max}}]</math>, wobei <math>\mathbb{D}_{\text{ök}}</math> der '''[[Ökonomischer Definitionsbereich|ökonomische Definitionsbereich]]''' und <math>x_{\text{max}} \in\ \mathbb{R}</math> die '''[[Kapazitätsgrenze]]''' ist. 

Die Variable <math>x</math> ist häufig in ME (Mengeneinheiten) und <math>G(x)</math> in GE (Geldeinheiten) gegeben. Die Gewinnfunktion ist definiert als die Differenz aus der [[Erlösfunktion]] und der [[Kostenfunktion]]: 

<math>G(x) = E(x) - K(x)</math>

[https://www.youtube.com/watch?v=aQ0J7uPZDJ0 Video-Einführung zur Gewinnfunktion auf YouTube]

== Gewinnschwelle, Gewinngrenze und Gewinnzone ==
Es sei <math>G:\mathbb{D}_{\text{ök}} \rightarrow \mathbb{W}_G</math> eine Gewinnfunktion. 
* Die '''Gewinnschwelle''' <math>x_s \in \mathbb{D}_{\text{ök}}</math> ist die kleinste Produktionsmenge, für die der Gewinn gleich 0 ist. 
* Die '''Gewinngrenze''' <math>x_g \in \mathbb{D}_{\text{ök}}</math> ist die größte Produktionsmenge, für die der Gewinn gleich 0 ist. 
* In der '''Gewinnzone''', dem Intervall <math>[x_s; x_g]</math>, liegen die Produktionsmengen, für die das Unternehmen einen Gewinn erzielt (der Gewinn ist nicht negativ). 

Die Gewinnschwelle und die Gewinngrenze werden berechnet, indem man den Erlös den Kosten gleichsetzt (<math>E(x) = K(x)</math>) oder die Gewinnfunktion gleich null setzt (<math>G(x) = 0</math>). Sie sind also die [[Nullstelle|Nullstellen]] der Gewinnfunktion. 

== Break-Even-Point (BEP) für lineare Funktionen ==
Für eine lineare Gewinnfunktion <math>G:\mathbb{D}_{\text{ök}} \rightarrow \mathbb{W}_G</math> mit der Gewinnschwelle <math>x_s \in \mathbb{D}_{\text{ök}}</math> heißt der Punkt <math>BEP(x_s | E(x_s))</math> der '''Break-Even-Point'''. Dies ist der Schnittpunkt von Erlös- und Kostenfunktion.

== Gewinnmaximum ==
Es sei <math>G:\mathbb{D}_{\text{ök}} \rightarrow \mathbb{W}_G</math> eine Gewinnfunktion. Das [[Extremwert#Definition|globale Maximum]] <math>G(x_0)</math> von <math>G</math> heißt '''Gewinnmaximum'''. Die dazugehörige [[Extremwert#Definition|Maximalstelle]] <math>x_0 \in \mathbb{D}_{\text{ök}}</math> heißt '''gewinnmaximale Ausbringungsmenge'''.

== Beispiele ==

=== Eine lineare Gewinnfunktion herleiten und analysieren ===
Die Produktion von Fahrrädern verursacht fixe Kosten von 2700 €. Die [[Kurzfristige_Preisuntergrenze#Variable_Stückkostenfunktion|variablen Stückkosten]] betragen 30 € pro Fahrrad. Die produzierten Fahrräder werden für jeweils 300 € pro Stück verkauft. Die [[Kapazitätsgrenze]] beträgt 40 Stück. Wir analysieren im Folgenden die Gewinnsituation.

==== Gewinnfunktion herleiten ====
Für die [[Kostenfunktion]] gilt <math>K(x) = 30x + 2700</math> mit <math>K_v = 30</math> und <math>K_f = 2700</math>. 
Weil der Erlös pro Einheit 300 € beträgt, ist <math>E_v(x) = 300</math> und die [[Erlösfunktion]] ist <math>E(x) = 300x</math>. 

Die Gewinnfunktion wird berechnet durch:
<math>G(x) = E(x) - K(x)</math>
<math>G(x) = 300x - (30x + 2700)</math>
<math>G(x) = 270x - 2700</math>

==== Gewinn berechnen ====
Der Gewinn für die Auslastung an der Kapazitätsgrenze (<math>x = 40</math>) beträgt:
<math>G(40) = 270 \cdot 40 - 2700 = 10800 - 2700 = 8100</math> €

==== Gewinnschwelle berechnen ====
Wir setzen die Gewinnfunktion gleich null:

<math>G(x) = 0</math>
<math>270x - 2700 = 0 \quad | +2700</math>
<math>270x = 2700 \quad | :270</math>
<math>x = 10</math>

Die Gewinnschwelle beträgt <math>x_s = 10</math> Fahrräder. 

Alternativ können wir die [[Erlösfunktion]] und die [[Kostenfunktion]] gleichsetzen, um die Gewinnschwelle zu berechnen:

<math>E(x) = K(x)</math>
<math>300x = 30x + 2700 \quad | -30x</math>
<math>270x = 2700 \quad | :270</math>
<math>x = 10</math>

==== Break-Even-Point berechnen ====
Um den entsprechenden Erlös/Kosten-Wert zu erhalten, setzen wir die Gewinnschwelle in die Erlösfunktion ein:
<math>E(10) = 300 \cdot 10 = 3000</math>

Der Break-Even-Point ist damit <math>BEP(10 | 3000)</math>. Werden 10 ME produziert, sind die Kosten und der Erlös gleich hoch und betragen jeweils 3000 €.

=== Eine ganzrationale Gewinnfunktion dritten Grades herleiten und analysieren ===
Die variable [[Kostenfunktion]] für ein Produkt ist durch <math>K_v(x) = 0,2x^3 - 4x^2 + 30x</math> gegeben. Die [[Kostenfunktion#Definition|Fixkosten]] betragen 20 GE. Der [[Erlösfunktion#Definition|Verkaufspreis]] pro Stück beträgt 32,8 GE.

==== Gewinnfunktion herleiten ====
Die [[Erlösfunktion]], die [[Kostenfunktion]] und die Gewinnfunktion berechnen sich wie folgt: 

<math>E(x) = 32,8x</math>
<math>K(x) = K_v(x) + K_f = 0,2x^3 - 4x^2 + 30x + 20</math>

<math>G(x) = E(x) - K(x)</math>
<math>G(x) = 32,8x - (0,2x^3 - 4x^2 + 30x + 20)</math>
<math>G(x) = -0,2x^3 + 4x^2 + 32,8x - 30x - 20</math>
<math>G(x) = -0,2x^3 + 4x^2 + 2,8x - 20</math>

==== Gewinnschwelle, Gewinngrenze und Gewinnzone berechnen ====
[[Datei:GewinnanalyseGraphGewinnfunktion.png|mini|Graph der Gewinnfunktion <math>G(x) = -0,2x^3 + 4x^2 + 2,8x - 20</math>]]
Wir ermitteln Gewinnschwelle, Gewinngrenze und Gewinnzone, indem wir die [[Nullstelle|Nullstellen]] der berechneten Gewinnfunktion mit dem [[Taschenrechner_verwenden#Nullstellen_berechnen|Taschenrechner]] bestimmen:

<math>0 = -0,2x^3 + 4x^2 + 2,8x - 20</math>

<math>x_1 \approx -2,45 \quad (\text{ökonomisch nicht sinnvoll, da } x \geq 0)</math>
<math>x_2 = 2</math>
<math>x_3 \approx 20,45</math>

* Die '''Gewinnschwelle''' beträgt 2 ME.
* Die '''Gewinngrenze''' liegt bei ca. 20,45 ME.
* Die '''Gewinnzone''' ist das Intervall <math>[2; 20,45]</math>.
* Der '''ökonomische Definitionsbereich''' beträgt <math>\mathbb{D}_{\text{ök}} = [0; 20,45]</math>, da keine weitere Kapazitätsgrenze gegeben ist.

==== Graph der Gewinnfunktion zeichnen ====
Um den [[Graph|Graphen]] der Gewinnfunktion zu zeichnen, erstellen wir eine Wertetabelle für x-Werte in <math>\mathbb{D}_{\text{ök}}</math>:

{| class="wikitable"
|-
! <math>x</math>
| 0 || 2 || 4 || 6 || 8 || 10 || 12 || 14 || 16 || 18 || 20 || 22
|-
! <math>G(x)</math>
| -20 || 0 || 42,4 || 97,6 || 156 || 208 || 244 || 254,4 || 229,6 || 160 || 36 || -152
|}

Beispielrechnung für <math>x = 4</math>:
<math>G(4) = -0,2 \cdot 4^3 + 4 \cdot 4^2 + 2,8 \cdot 4 - 20 = -12,8 + 64 + 11,2 - 20 = 42,4</math>

Wir zeichnen die berechneten Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinden diese, um den Graphen zu erhalten. Wir können grob ablesen, dass die gewinnmaximale Ausbringungsmenge bei ca. 13,67 ME und das Gewinnmaximum bei knapp 255 GE liegt. 

==== Gewinnmaximale Ausbringungsmenge und Gewinnmaximum ermitteln ====
Das Gewinnmaximum berechnen wir exakt über die Ableitungen der Gewinnfunktion:
<math>G'(x) = -0,6x^2 + 8x + 2,8</math>
<math>G''(x) = -1,2x + 8</math>

# '''Notwendige Bedingung''': <math>G'(x) = 0</math>
<br><math>-0,6x^2 + 8x + 2,8 = 0</math> 
<br>Lösen mit dem [[Taschenrechner_verwenden#Nullstellen_berechnen|Taschenrechner]] liefert:
<br><math>x_1 \approx -0,34 \notin \mathbb{D}_{\text{ök}}</math>
<br><math>x_2 \approx 13,67 \in \mathbb{D}_{\text{ök}}</math>

# '''Hinreichende Bedingung''': Überprüfen der zweiten Ableitung
<br><math>G''(13,67) = -1,2 \cdot 13,67 + 8 \approx -8,4 < 0</math> 
<br>Da die zweite Ableitung negativ ist, liegt bei <math>x \approx 13,67</math> ein Hochpunkt (Maximum) vor.

# '''Extremwert (Gewinnmaximum) berechnen''': 
<br><math>G(13,67) = -0,2 \cdot (13,67)^3 + 4 \cdot (13,67)^2 + 2,8 \cdot 13,67 - 20 \approx 254,85</math>
<br>Das Gewinnmaximum beträgt ca. 254,85 GE bei einer gewinnmaximalen Ausbringungsmenge von ca. 13,67 ME.

[[Kategorie:Differentialrechnung]]
[[Kategorie:Gewinnanalyse]]
[[Kategorie:FHR_WuV_Mathe]]
[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]