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Sequenzdiagramm

Flbkwikiadmin — Fri, 05 Jun 2026 05:36:17 GMT

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Flbkwikiadmin — Sat, 30 May 2026 06:26:44 GMT

Qualitätskontrolle mit 20 Teilen (Rechtsseitiger Signifikanztest)

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	=== Qualitätskontrolle mit 20 Teilen (Rechtsseitiger Signifikanztest)===		=== Qualitätskontrolle mit 20 Teilen (Rechtsseitiger Signifikanztest)===
	<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/~~F7omRJUFg6w~~?si=~~wJZEx2jRBw-2FblK~~" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe></html>		<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/GoFBcIUYvoY?si=l8gBziqVW2u_iCMr" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe></iframe></html>

	Eine Maschine produziert in Serie Teile. Es wird eine Stichprobe von <math>n=20</math> Teilen gezogen. Die binomialverteilte Zufallsvariable <math>X</math> gibt an, wie viele fehlerhafte Teile in der Stichprobe gefunden wurden.		Eine Maschine produziert in Serie Teile. Es wird eine Stichprobe von <math>n=20</math> Teilen gezogen. Die binomialverteilte Zufallsvariable <math>X</math> gibt an, wie viele fehlerhafte Teile in der Stichprobe gefunden wurden.

Sequenzdiagramm

Flbkwikiadmin — Wed, 27 May 2026 10:27:53 GMT

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Anwendungsfalldiagramm

Flbkwikiadmin — Wed, 27 May 2026 08:59:24 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 27. Mai 2026, 10:59 Uhr
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	Die [[Unified Modeling Language]] (Vereinheitlichte Modellierungssprache), kurz '''UML''', ist eine standardisierte grafische Modellierungssprache zur Beschreibung, Spezifikation und Dokumentation von Anforderungen und Softwarearchitekturen. Das '''Anwendungsfalldiagramm''' (engl. '''Use Case Diagramm''') ist ein elementares Verhaltensdiagramm der UML.		Die [[Unified Modeling Language]] (Vereinheitlichte Modellierungssprache), kurz '''UML''', ist eine standardisierte grafische Modellierungssprache zur Beschreibung, Spezifikation und Dokumentation von Anforderungen und Softwarearchitekturen. Das '''Anwendungsfalldiagramm''' (engl. '''Use Case Diagramm''') ist ein elementares Verhaltensdiagramm der UML.

	Ziel des Anwendungsfalldiagramms ist es, in der Analysephase (Requirements Engineering) die funktionalen Anforderungen des Auftraggebers aus fachlicher Sicht für alle Beteiligten verständlich, übersichtlich und vollständig zu modellieren. Es dient als zentrales Kommunikationsmittel, um barrierefrei zwischen potenziellen Anwendern, Auftraggebern (Fachseite) und Auftragnehmern (Entwicklungsteam) zu vermitteln. Als strukturierte funktionale Anforderungsbeschreibung sind Anwendungsfalldiagramme ein fester Bestandteil des ~~'''Lastenhefts'''~~ und bilden die primäre Grundlage für das ~~'''~~Pflichtenheft~~'''~~.		Ziel des Anwendungsfalldiagramms ist es, in der Analysephase (Requirements Engineering) die funktionalen Anforderungen des Auftraggebers aus fachlicher Sicht für alle Beteiligten verständlich, übersichtlich und vollständig zu modellieren. Es dient als zentrales Kommunikationsmittel, um barrierefrei zwischen potenziellen Anwendern, Auftraggebern (Fachseite) und Auftragnehmern (Entwicklungsteam) zu vermitteln. Als strukturierte funktionale Anforderungsbeschreibung sind Anwendungsfalldiagramme ein fester Bestandteil des [[Lastenheft]]s und bilden die primäre Grundlage für das [[Pflichtenheft]].

	Das Anwendungsfalldiagramm besteht aus drei wesentlichen Elementen:		Das Anwendungsfalldiagramm besteht aus drei wesentlichen Elementen:

Gozintograph

Flbkwikiadmin — Wed, 27 May 2026 08:30:58 GMT

Produktion von Spielwaren aus Rohstoffen über Zwischenprodukte

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Lineares Gleichungssystem

Flbkwikiadmin — Wed, 27 May 2026 08:00:58 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 27. Mai 2026, 10:00 Uhr
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	Ein '''lineares Gleichungssystem''' (LGS) ist eine Menge von linearen Gleichungen mit mehreren Unbekannten. Lineare Gleichungssysteme treten in vielen mathematischen und insbesondere betriebswirtschaftlichen Fragestellungen auf, z.B. bei Produktionsplanung, Kostenrechnung oder Stoffstromanalysen. Häufig werden lineare Gleichungssysteme mithilfe von [[Matrix\|Matrizen]] dargestellt und gelöst.		Ein '''lineares Gleichungssystem''' (LGS) ist eine Menge von linearen Gleichungen mit mehreren Unbekannten. Lineare Gleichungssysteme treten in vielen mathematischen und insbesondere betriebswirtschaftlichen Fragestellungen auf, z. B. bei der Produktionsplanung, Kostenrechnung oder in Stoffstromanalysen. Häufig werden lineare Gleichungssysteme mithilfe von [[Matrix\|Matrizen]] dargestellt und algorithmisch gelöst.

	== Definition ==		== Definition ==
	Ein '''lineares Gleichungssystem''' mit <math>m</math> Gleichungen und <math>n</math> Unbekannten hat die Form		Ein '''lineares Gleichungssystem''' mit <math>m</math> Gleichungen und <math>n</math> Unbekannten hat die allgemeine Form:
	:<math>		:<math>
	\begin{aligned}		\begin{aligned}
Zeile 11:		Zeile 11:
	\end{aligned}		\end{aligned}
	</math>		</math>
	mit Koeffizienten <math>a_{ij} \in \mathbb{R}</math> und rechten ~~Seiten~~ <math>b_i \in \mathbb{R}</math>.		mit den Koeffizienten <math>a_{ij} \in \mathbb{R}</math> und den Werten der rechten Seite <math>b_i \in \mathbb{R}</math>.

	Die '''Matrizengleichung''' des Systems lautet		Die '''Matrizengleichung''' des Systems lautet:
	:<math>		:<math>
	A \cdot x = b		A \cdot x = b
	</math>,		</math>
	wobei <math>A</math> die Koeffizientenmatrix, <math>x</math> der Unbekanntenvektor und <math>b</math> der Ergebnisvektor ist. ~~Die~~ '''erweiterte Koeffizientenmatrix''' ~~lautet~~ <math>(A\|b)</math> ~~und~~ wird in der Regel mit dem [[Gaußsches Eliminationsverfahren\|~~Gauß'schen~~ Eliminationsverfahren]] ~~in [[Lineares_Gleichungssystem#Zeilenstufenform\|Zeilenstufenform]] gebracht~~, ~~zum~~ die Lösung zu ermitteln.		wobei <math>A</math> die Koeffizientenmatrix, <math>x</math> der Unbekanntenvektor und <math>b</math> der Ergebnisvektor (rechte Seite) ist.

			Koppelt man die Matrix <math>A</math> mit dem Vektor <math>b</math>, erhält man die '''erweiterte Koeffizientenmatrix''' <math>(A\|b)</math>. Diese wird in der Regel mit dem [[Gaußsches Eliminationsverfahren\|Gaußschen Eliminationsverfahren]] umgeformt, um die Lösung des Systems zu ermitteln.

	== Homogene und inhomogene lineare Gleichungssysteme ==		== Homogene und inhomogene lineare Gleichungssysteme ==
	* Ein '''homogenes''' lineares Gleichungssystem liegt vor, wenn <math>b = 0</math> gilt, also <math>A \cdot x = 0</math>. Es besitzt immer mindestens die triviale Lösung <math>x = 0</math>.		* Ein '''homogenes''' lineares Gleichungssystem liegt vor, wenn <math>b = 0</math> gilt (der Vektor der rechten Seite besteht nur aus Nullen), also <math>A \cdot x = 0</math>. Es besitzt immer mindestens die triviale Lösung <math>x = 0</math> (alle Unbekannten sind Null).
	* Ein '''inhomogenes''' lineares Gleichungssystem liegt vor, wenn <math>b \neq 0</math> gilt. Es kann keine, genau eine oder unendlich viele Lösungen besitzen.		* Ein '''inhomogenes''' lineares Gleichungssystem liegt vor, wenn <math>b \neq 0</math> gilt (mindestens ein Wert auf der rechten Seite ist ungleich Null). Es kann keine, genau eine oder unendlich viele Lösungen besitzen.

	== Lösungskriterien ==		== Lösungskriterien (Satz von Kronecker-Capelli) ==
	Die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems hängt vom [[Matrix#Rang\|Rang]] der Koeffizientenmatrix <math>A \in \mathbb{R}^{m \times n}</math> und der erweiterten Koeffizientenmatrix <math>(A\|b)~~</math> mit <math>b \in \mathbb{R}^{m}~~</math> ab:		Die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems hängt vom [[Matrix#Rang\|Rang]] der Koeffizientenmatrix <math>A \in \mathbb{R}^{m \times n}</math> und der erweiterten Koeffizientenmatrix <math>(A\|b)</math> ab:
	* Das System ist '''lösbar''', wenn <math>\operatorname{rang}(A) = \operatorname{rang}(A\|b)</math>.		* Das System ist generell '''lösbar''', wenn gilt: <math>\operatorname{rang}(A) = \operatorname{rang}(A\|b)</math>.
	* Die Lösung ist '''eindeutig''', wenn zusätzlich <math>\operatorname{rang}(A) = n</math> ~~gilt~~.		* Die Lösung ist '''eindeutig''', wenn zusätzlich gilt: <math>\operatorname{rang}(A) = n</math> (wobei <math>n</math> die Anzahl der Unbekannten ist).
	* Es gibt '''unendlich viele Lösungen''', wenn <math>\operatorname{rang}(A) = \operatorname{rang}(A\|b) < n</math>.		* Es gibt '''unendlich viele Lösungen''', wenn gilt: <math>\operatorname{rang}(A) = \operatorname{rang}(A\|b) < n</math>. In diesem Fall werden die Lösungen häufig in Abhängigkeit von einem oder mehreren '''Parametern''' angegeben.
	* Es gibt '''keine Lösung''', wenn <math>\operatorname{rang}(A) \neq \operatorname{rang}(A\|b)</math>.		* Es gibt '''keine Lösung''', wenn gilt: <math>\operatorname{rang}(A) \neq \operatorname{rang}(A\|b)</math> (meist bedeutet dies <math>\operatorname{rang}(A) < \operatorname{rang}(A\|b)</math>).

	~~Bei unendlich vielen Lösungen werden diese häufig mithilfe von~~ '''~~Parametern~~''' ~~dargestellt~~.		== Zeilenstufenform ==
			In der '''Zeilenstufenform''' verringert sich in jeder Zeile der Matrix die Anzahl der Unbekannten um mindestens eine (Stufenbildung). Unterhalb der Stufen (führende Koeffizienten bzw. Pivotelemente) stehen ausschließlich Nullen. Die erweiterte Koeffizientenmatrix kann mithilfe des [[Gaußsches_Eliminationsverfahren\|Gaußschen Eliminationsverfahrens]] in diese Form gebracht werden.

	~~==Zeilenstufenform==~~		Sind darüber hinaus alle Pivotelemente auf den Wert 1 normiert und stellen sie in ihrer jeweiligen Spalte den einzigen von Null verschiedenen Eintrag dar, spricht man von der '''reduzierten Zeilenstufenform'''. Hierfür verwendet man den erweiterten [[Gaußsches_Eliminationsverfahren\|Gauß-Jordan-Algorithmus]].
	~~In der '''Zeilenstufenform''' verringert sich in jeder Zeile die Anzahl der Unbekannten um mindestens eine, die dann auch~~ in den darauffolgenden Zeilen nicht mehr vorkommt. Die erweiterte Koeffizientenmatrix kann mit Hilfe des [[Gaußsches_Eliminationsverfahren#Lösung_eines_linearen_Gleichungssystems\|Gauß'schen Eliminationsverfahrens]] in Zeilenstufenform gebracht werden. Enthält jede Zeile genau eine Unbekannte, so spricht man von '''~~reduzierter~~ Zeilenstufenform'''. Hierfür verwendet man den [[Gaußsches_Eliminationsverfahren~~#Lösung_eines_linearen_Gleichungssystems~~\|Gauß-Jordan-Algorithmus]].

	== Betriebswirtschaftliche Anwendungen ==		== Betriebswirtschaftliche Anwendungen ==
	In der Betriebswirtschaft werden lineare Gleichungssysteme unter anderem verwendet zur		In der Betriebswirtschaft werden lineare Gleichungssysteme unter anderem verwendet zur:
	* Produktions- und Kapazitätsplanung,		* Produktions- und Kapazitätsplanung (z. B. optimale Ressourcenauslastung),
	* Kosten- und Erlösrechnung,		* innerbetrieblichen Kosten- und Erlösrechnung (z. B. Verteilung von Gemeinkosten),
	* Analyse von Stoff- und Warenströmen,		* Analyse von Stoff- und Warenströmen (Gozintograph),
	* Modellierung von Stücklisten und Produktionsprozessen.		* Modellierung von Stücklisten und mehrstufigen Produktionsprozessen.

	== Beispiele ==		== Beispiele ==
Zeile 51:		Zeile 53:
	\end{aligned}		\end{aligned}
	</math>		</math>
	Dieses System besitzt unendlich viele Lösungen, da die Gleichungen linear abhängig ~~sind~~.		Dieses System besitzt unendlich viele Lösungen, da die zweite Gleichung lediglich ein Vielfaches (das 2-fache) der ersten Gleichung ist. Die Gleichungen sind linear abhängig.

	=== Inhomogenes lineares Gleichungssystem ===		=== Inhomogenes lineares Gleichungssystem ===
Zeile 60:		Zeile 62:
	\end{aligned}		\end{aligned}
	</math>		</math>
	Die eindeutige Lösung lautet <math>x_1 = 2</math>, <math>x_2 = 1</math>.		Die eindeutige Lösung dieses Systems lautet <math>x_1 = 2</math> und <math>x_2 = 1</math>. Geometrisch entspricht dies dem Schnittpunkt zweier Geraden im zweidimensionalen Raum.

			=== Betriebswirtschaftliches Beispiel (Kapazitätsplanung) ===
			Ein Unternehmen produziert zwei Produkte. Für Produkt 1 werden 2 Maschinenstunden, für Produkt 2 werden 3 Maschinenstunden benötigt. Insgesamt stehen 120 Maschinenstunden zur Verfügung. Zusätzlich sollen insgesamt exakt 50 Einheiten gefertigt werden (unabhängig davon, wie sie sich auf Produkt 1 und 2 aufteilen).

	~~=== Betriebswirtschaftliches Beispiel ===~~		Das entsprechende LGS lautet:
	Ein Unternehmen produziert zwei Produkte. Für Produkt 1 werden 2 Maschinenstunden, für Produkt 2 werden 3 Maschinenstunden benötigt. Insgesamt stehen 120 Maschinenstunden zur Verfügung. Zusätzlich sollen insgesamt 50 Produkte hergestellt werden.
	:<math>		:<math>
	\begin{aligned}		\begin{aligned}
	~~x_1~~ + ~~x_2~~ &= 50 \\		1x_1 + 1x_2 &= 50 \quad \text{(Mengenrestriktion)} \\
	2x_1 + 3x_2 &= 120		2x_1 + 3x_2 &= 120 \quad \text{(Kapazitätsrestriktion)}
	\end{aligned}		\end{aligned}
	</math>		</math>
	~~Die Lösung gibt an, wie viele~~ Einheiten ~~der beiden Produkte~~ gefertigt werden ~~können~~.
			Das Lösen dieses Systems liefert das Ergebnis <math>x_1 = 30</math> und <math>x_2 = 20</math>.
			'''Antwort:''' Es können exakt 30 Einheiten von Produkt 1 und 20 Einheiten von Produkt 2 gefertigt werden, um die Maschinenkapazität vollständig auszulasten.

	[[Kategorie:Lineare_Algebra]]		[[Kategorie:Lineare_Algebra]]
	[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]		[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]

Gaußsches Eliminationsverfahren

Flbkwikiadmin — Wed, 27 May 2026 07:58:38 GMT

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Matrix

Flbkwikiadmin — Wed, 27 May 2026 07:53:14 GMT

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Vierfeldertafel

Flbkwikiadmin — Wed, 27 May 2026 07:45:44 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 27. Mai 2026, 09:45 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	Die Vierfeldertafel wird neben dem [[Baumdiagramm_(Wahrscheinlichkeitsrechnung)\|Baumdiagramm]] zur ~~graphischen~~ Darstellung von [[Zufallsexperiment\|Zufallsexperimenten]] und ihren [[Wahrscheinlichkeitsverteilung\|Wahrscheinlichkeitsverteilungen]] verwendet.		Die Vierfeldertafel wird neben dem [[Baumdiagramm_(Wahrscheinlichkeitsrechnung)\|Baumdiagramm]] zur tabellarischen und strukturierten Darstellung von [[Zufallsexperiment\|Zufallsexperimenten]] und ihren [[Wahrscheinlichkeitsverteilung\|Wahrscheinlichkeitsverteilungen]] verwendet.

	==Definition==		== Definition ==
	Eine '''Vierfeldertafel''' ist eine ~~tabellarische Darstellung~~, die verwendet wird, um die Zusammenhänge zwischen zwei [[Zufallsexperiment#Ereignis\|Ereignissen]] und ihren [[Zufallsexperiment#Gegenereignis\|Gegenereignissen]] zu analysieren. Sie ermöglicht die ~~übersichtliche~~ Berechnung von [[Bedingte Wahrscheinlichkeit\|bedingten Wahrscheinlichkeiten]].		Eine '''Vierfeldertafel''' ist eine Übersicht, die verwendet wird, um die Zusammenhänge zwischen zwei [[Zufallsexperiment#Ereignis\|Ereignissen]] und ihren [[Zufallsexperiment#Gegenereignis\|Gegenereignissen]] zu analysieren. Sie ermöglicht die schnelle Bestimmung von Schnittmengen und bildet die Basis für die Berechnung von [[Bedingte Wahrscheinlichkeit\|bedingten Wahrscheinlichkeiten]].

	Die Vierfeldertafel besteht aus vier Feldern, die die Kombinationen der beiden Ereignisse (z. B. <math>A</math> und <math>B</math>) sowie deren Gegenereignisse (<math>\overline{A}</math> und <math>\overline{B}</math>) abbilden. Zusätzlich werden die ~~Randsummen~~ (Totals) angegeben, um die Gesamtwahrscheinlichkeiten zu verdeutlichen.		Die Vierfeldertafel besteht im Kern aus vier Feldern, die die Kombinationen der beiden Ereignisse (z. B. <math>A</math> und <math>B</math>) sowie deren Gegenereignisse (<math>\overline{A}</math> und <math>\overline{B}</math>) abbilden. Zusätzlich werden an den Rändern die sogenannten Randwahrscheinlichkeiten (Totals) angegeben, um die Gesamtwahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse zu verdeutlichen.

	==Aufbau einer Vierfeldertafel==		== Aufbau einer Vierfeldertafel ==
	Eine Vierfeldertafel hat folgende Struktur:		Eine Vierfeldertafel hat bezüglich relativer Wahrscheinlichkeiten standardmäßig folgende Struktur:

	{\| class="wikitable"		{\| class="wikitable"
Zeile 19:		Zeile 19:
	\|}		\|}

	Die Randwahrscheinlichkeiten ergeben sich aus der Summe der jeweiligen Zeilen oder Spalten.		Die Randwahrscheinlichkeiten ergeben sich stets aus der Summe der jeweiligen Zeilen oder Spalten.

	~~==Beispiele==~~		''Prüfungshinweis:'' Neben Wahrscheinlichkeiten können in eine Vierfeldertafel auch '''absolute Häufigkeiten''' (z. B. konkrete Personenanzahlen) eingetragen werden. In diesem Fall steht im Feld rechts unten nicht die `1`, sondern die Gesamtgröße der Stichprobe (z. B. 10.000 Personen). Wahrscheinlichkeiten und absolute Zahlen dürfen innerhalb einer Tabelle niemals gemischt werden!

	===Medizinischer Test===		== Beispiele ==

			=== Medizinischer Test ===
	[[Datei:VierfeldertafelBaumdiagrammMedizinischerTest.png\|mini\|[[Baumdiagramm_(Wahrscheinlichkeitsrechnung)\|Baumdiagramm]] zum Beispiel - Medizinischer Test]]		[[Datei:VierfeldertafelBaumdiagrammMedizinischerTest.png\|mini\|[[Baumdiagramm_(Wahrscheinlichkeitsrechnung)\|Baumdiagramm]] zum Beispiel - Medizinischer Test]]
	Ein medizinischer Test weist eine Krankheit mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % richtig nach (Sensitivität). Gesunde Personen werden mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % als gesund erkannt (Spezifität). In der Bevölkerung haben 2 % der Menschen diese Krankheit.

	~~Die~~ Vierfeldertafel sieht ~~dann~~ wie folgt aus:		Ein medizinischer Test weist eine Krankheit mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % richtig nach (Sensitivität). Gesunde Personen werden mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % korrekterweise als gesund erkannt (Spezifität). In der Bevölkerung haben 2 % der Menschen diese Krankheit (Prävalenz).

			Überträgt man diese Werte über die 1. Pfadregel in die Vierfeldertafel, sieht diese wie folgt aus:

	{\| class="wikitable"		{\| class="wikitable"
	\| \|\| '''Test positiv (T)''' \|\| '''Test negativ (<math>\overline{T}</math>)''' \|\| '''Total'''		\| \|\| '''Test positiv (<math>T</math>)''' \|\| '''Test negativ (<math>\overline{T}</math>)''' \|\| '''Total'''
	\|-		\|-
	\| '''Krank (K)''' \|\| <math> 0,02 \cdot 0,95 = ~~0,019~~</math> \|\| <math> 0,02 \cdot 0,05 = ~~0,001~~</math> \|\| ~~<math>~~0,02~~</math>~~		\| '''Krank (<math>K</math>)''' \|\| <math>0,02 \cdot 0,95 =</math> '''0,019''' \|\| <math>0,02 \cdot 0,05 =</math> '''0,001''' \|\| '''0,02'''
	\|-		\|-
	\| '''Gesund (<math>\overline{K}</math>)''' \|\| <math> 0,98 \cdot 0,10 = ~~0,098~~</math> \|\| <math> 0,98 \cdot 0,90 = ~~0,882~~</math> \|\| ~~<math>~~0,98~~</math>~~		\| '''Gesund (<math>\overline{K}</math>)''' \|\| <math>0,98 \cdot 0,10 =</math> '''0,098''' \|\| <math>0,98 \cdot 0,90 =</math> '''0,882''' \|\| '''0,98'''
	\|-		\|-
	\| '''Total''' \|\| ~~<math>~~0,117~~</math>~~ \|\| ~~<math>~~0,883~~</math>~~ \|\| '''1'''		\| '''Total''' \|\| '''0,117''' \|\| '''0,883''' \|\| '''1'''
	\|}		\|}

	'''Berechnungen:'''		'''Formale Berechnungen (aus der Tabelle abgeleitet):'''

	~~Wahrscheinlichkeit, dass eine Person krank ist '''und''' positiv getestet wird:~~

	~~:<math>P(K \cap T) = 0,95 \cdot 0,02 = 0,019</math>~~

	~~Wahrscheinlichkeit, dass der Test positiv ausfällt:~~

	:<math> ~~P(T) =~~ P(K \cap T) + P(~~\overline{~~K} \~~cap~~ T) = 0,~~019 +~~ 0,~~098~~ = 0,~~117~~ </math>		Wahrscheinlichkeit, dass eine Person krank ist '''und''' positiv getestet wird (Schnittmenge):
			:<math>P(K \cap T) = P(K) \cdot P_K(T) = 0,02 \cdot 0,95 = 0,019</math>

	~~[[Bedingte~~ Wahrscheinlichkeit]], dass ~~eine Person '''tatsächlich krank''' ist, wenn~~ der Test positiv ~~ist~~:		Totale Wahrscheinlichkeit, dass der Test (ungeachtet des Gesundheitszustands) positiv ausfällt (Spaltensumme):
			:<math>P(T) = P(K \cap T) + P(\overline{K} \cap T) = 0,019 + 0,098 = 0,117</math>

	:<math> P_T(K) = \frac{P(K \cap T)}{P(T)} = \frac{0,019}{0,117} \approx 0,~~162~~ </math>		[[Bedingte Wahrscheinlichkeit]], dass eine Person '''tatsächlich krank''' ist, unter der Vorbedingung, dass der Test positiv ist:
			:<math>P_T(K) = \frac{P(K \cap T)}{P(T)} = \frac{0,019}{0,117} \approx 0,1624 \approx 16,2\,\%</math>

	[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]		[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
	[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]		[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Flbkwikiadmin — Wed, 27 May 2026 07:43:15 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 27. Mai 2026, 09:43 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:

	== Definition ==		== Definition ==
	Die '''bedingte Wahrscheinlichkeit''' <math>P_B(A)</math> bzw. <math>P(A\|B)</math> beschreibt die Wahrscheinlichkeit eines [[Zufallsexperiment#Ereignis\|Ereignisses]] <math>A</math> unter der Voraussetzung, dass ein anderes Ereignis <math>B</math> bereits eingetreten ist. Wir sagen auch "Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B".		Die '''bedingte Wahrscheinlichkeit''' <math>P_B(A)</math> bzw. <math>P(A\|B)</math> beschreibt die Wahrscheinlichkeit eines [[Zufallsexperiment#Ereignis\|Ereignisses]] <math>A</math> unter der Voraussetzung, dass ein anderes Ereignis <math>B</math> bereits eingetreten ist. Wir sagen auch "Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B".

	Es seien <math>A, B</math> Ereignisse mit <math>P(B)>0)</math>, dann gilt		Es seien <math>A, B</math> Ereignisse mit <math>P(B) > 0</math>, dann gilt:
	:<math>P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}</math>		:<math>P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}</math>

	== Stochastische Unabhängigkeit ==		== Stochastische Unabhängigkeit ==
	Zwei Ereignisse A und B heißen '''stochastisch unabhängig''', wenn		Zwei Ereignisse <math>A</math> und <math>B</math> heißen '''stochastisch unabhängig''', wenn
	:<math>P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)</math>		:<math>P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)</math>
	gilt.		gilt.

	Dies bedeutet, dass das Eintreten von B die Wahrscheinlichkeit von A nicht beeinflusst. Für bedingte Wahrscheinlichkeiten bei unabhängigen Ereignissen gilt <math>P_B(A) = P(A)</math> und <math>P_A(B) = P(B)</math>.		Dies bedeutet, dass das Eintreten von <math>B</math> die Wahrscheinlichkeit von <math>A</math> nicht beeinflusst. Für bedingte Wahrscheinlichkeiten bei stochastisch unabhängigen Ereignissen gilt demnach (vorausgesetzt die Wahrscheinlichkeiten sind größer als 0):
			:<math>P_B(A) = P(A)</math> und <math>P_A(B) = P(B)</math>.

	== Zusammenhang mit der Vierfeldertafel ==		== Zusammenhang mit der Vierfeldertafel ==
	Die [[Vierfeldertafel]] eignet sich besonders gut zur Veranschaulichung bedingter Wahrscheinlichkeiten und zur Überprüfung auf stochastische Unabhängigkeit:		Die [[Vierfeldertafel]] eignet sich besonders gut zur Veranschaulichung bedingter Wahrscheinlichkeiten und zur Überprüfung auf stochastische Unabhängigkeit.

			Hierbei stehen die Variablen <math>a, b, c, d</math> für die Wahrscheinlichkeiten der jeweiligen Schnittmengen (z. B. <math>a = P(A \cap B)</math>):

	{\| class="wikitable"		{\| class="wikitable"
	\| \|\| <math>B</math> \|\| <math>\bar{B}</math> \|\| <math>\sum</math>		\| \|\| <math>B</math> \|\| <math>\bar{B}</math> \|\| <math>\sum</math>
	\|-		\|-
	\| <math>A</math> \|\| <math>a</math> \|\| <math>b</math> \|\| <math>a+b</math>		\| <math>A</math> \|\| <math>a</math> \|\| <math>b</math> \|\| <math>a+b</math>
	\|-		\|-
	\| <math>\bar{A}</math> \|\| <math>c</math> \|\| <math>d</math> \|\| <math>c+d</math>		\| <math>\bar{A}</math> \|\| <math>c</math> \|\| <math>d</math> \|\| <math>c+d</math>
Zeile 26:		Zeile 28:
	\|}		\|}

	Die bedingte Wahrscheinlichkeit <math>P_B(A)</math> lässt sich dann durch		Die bedingte Wahrscheinlichkeit <math>P_B(A)</math> lässt sich dann direkt aus der Tafel ablesen und berechnen durch:
	<math>P_B(A) = \frac{a}{a+c}</math> ~~berechnen.~~		:<math>P_B(A) = \frac{a}{a+c}</math>

	== Satz von Bayes ==		== Satz von Bayes ==
	Es seien <math>A, B</math> Ereignisse mit <math>P(B) > 0</math>. Die Wahrscheinlichkeiten <math>P_A(B)</math>, <math>P(A)</math> und <math>P(B)</math> seien gegeben. Die Wahrscheinlichkeit von <math>A</math> unter der Bedingung <math>B</math> wird dann durch		Es seien <math>A</math> und <math>B</math> Ereignisse mit <math>P(B) > 0</math>. Die Wahrscheinlichkeiten <math>P_A(B)</math>, <math>P(A)</math> und <math>P(\bar{A})</math> seien gegeben. Die Wahrscheinlichkeit von <math>A</math> unter der Bedingung <math>B</math> wird dann durch

	:<math>P_B(A) = \frac{P_A(B) \cdot P(A)}{P(B)}</math>		:<math>P_B(A) = \frac{P_A(B) \cdot P(A)}{P(B)}</math>

	berechnet.		berechnet. Oftmals ist <math>P(B)</math> nicht direkt gegeben und muss über das Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit (die Pfadadditionsregel im Baumdiagramm) ermittelt werden. Die erweiterte Formel lautet dann:

			:<math>P_B(A) = \frac{P_A(B) \cdot P(A)}{P_A(B) \cdot P(A) + P_{\bar{A}}(B) \cdot P(\bar{A})}</math>

	== Beispiele ==		== Beispiele ==

Zeile 41:		Zeile 46:
	* Sensitivität <math>P_K(T) = 0,95</math>		* Sensitivität <math>P_K(T) = 0,95</math>
	* Spezifität <math>P_{\bar{K}}(\bar{T}) = 0,90</math>		* Spezifität <math>P_{\bar{K}}(\bar{T}) = 0,90</math>
	* Prävalenz <math>P(K) = 0,02</math>		* Prävalenz (Krankheitsrate) <math>P(K) = 0,02</math>

	Die Wahrscheinlichkeit krank zu sein bei positivem Test ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit:		Die Wahrscheinlichkeit krank zu sein bei positivem Test ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit:
	:<math>P_T(K) = \frac{P(K \cap T)}{P(T)} = \frac{0,019}{0,117} \approx 16,2\%</math>		:<math>P_T(K) = \frac{P(K \cap T)}{P(T)} = \frac{0,019}{0,117} \approx 16,2\%</math>

	Alternative Berechnung mit dem '''Satz von Bayes''':		Alternative Berechnung direkt mit dem '''Satz von Bayes''':

	~~Zuerst berechnen wir <math>P(T)</math>~~:

			Zuerst berechnen wir <math>P(T)</math> über die totale Wahrscheinlichkeit:
	:<math>P(T) = P_K(T) \cdot P(K) + P_{\bar{K}}(T) \cdot P(\bar{K})</math>		:<math>P(T) = P_K(T) \cdot P(K) + P_{\bar{K}}(T) \cdot P(\bar{K})</math>
	:<math>P(T) = 0,95 \cdot 0,02 + (1 - 0,90) \cdot 0,98 = 0,019 + 0,098 = 0,117</math>		:<math>P(T) = 0,95 \cdot 0,02 + (1 - 0,90) \cdot 0,98 = 0,019 + 0,098 = 0,117</math>

	Nun wenden wir den Satz von Bayes an:		Nun wenden wir den Satz von Bayes an:

	:<math>P_T(K) = \frac{P_K(T) \cdot P(K)}{P(T)} = \frac{0,95 \cdot 0,02}{0,117} \approx 0,162</math>		:<math>P_T(K) = \frac{P_K(T) \cdot P(K)}{P(T)} = \frac{0,95 \cdot 0,02}{0,117} \approx 0,162</math>

	Interpretation: Trotz eines positiven Testergebnisses beträgt die Wahrscheinlichkeit, tatsächlich krank zu sein, nur etwa 16,2 % – ~~aufgrund~~ der niedrigen Prävalenz.		'''Interpretation:''' Trotz eines positiven Testergebnisses beträgt die Wahrscheinlichkeit, tatsächlich krank zu sein, nur etwa 16,2 % – dies liegt an der niedrigen Prävalenz (seltene Krankheit) in Kombination mit der Fehlerquote des Tests.

	=== Würfelbeispiel zur stochastischen Unabhängigkeit ===		=== Würfelbeispiel zur stochastischen Unabhängigkeit ===
	Betrachtet man zwei Ereignisse ~~beim Würfeln~~:		Betrachtet man zwei Ereignisse bei einem fairen sechsseitigen Würfel:
	* A: "Gerade Zahl" = {2,4,6} → <math>P(A) = ~~0,5~~</math>		* A: "Gerade Zahl" = {2,4,6} → <math>P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}</math>
	* B: "Zahl > 3" = {4,5,6} → <math>P(B) = ~~0,5~~</math>		* B: "Zahl > 3" = {4,5,6} → <math>P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}</math>

	Schnittmenge: <math>A \cap B</math> = {4,6} → <math>P(A \cap B) = \frac{2}{6} \~~approx 0,333~~</math>		Schnittmenge: <math>A \cap B</math> = {4,6} → <math>P(A \cap B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}</math>

	Da <math>P(A) \cdot P(B) = ~~0,25~~ \neq ~~0,333~~</math>, sind die Ereignisse nicht stochastisch unabhängig.		Wir prüfen auf stochastische Unabhängigkeit:
			:<math>P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}</math>
			Da <math>\frac{1}{4} \neq \frac{1}{3}</math>, sind die Ereignisse '''nicht''' stochastisch unabhängig.

	Die bedingte Wahrscheinlichkeit:		Die bedingte Wahrscheinlichkeit berechnet sich zu:
	<math>P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{~~0,333~~}{~~0,5~~} \approx 0,~~666~~</math>		:<math>P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1/3}{1/2} = \frac{2}{3} \approx 66,7\%</math>

	=== Münzwurfbeispiel zur stochastischen Unabhängigkeit ===		=== Münzwurfbeispiel zur stochastischen Unabhängigkeit ===
Zeile 76:		Zeile 81:
	* B: "Zweiter Wurf Zahl" → <math>P(B) = 0,5</math>		* B: "Zweiter Wurf Zahl" → <math>P(B) = 0,5</math>

	Da die Würfe unabhängig sind:		Da die Würfe voneinander unabhängig sind, gilt für die Schnittmenge:
	<math>P(A \cap B) ~~= 0,25~~ = P(A) \cdot P(B)</math>		:<math>P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0,5 \cdot 0,5 = 0,25</math>

	Die bedingte Wahrscheinlichkeit:		Die bedingte Wahrscheinlichkeit ergibt entsprechend:
	<math>P_B(A) = \frac{0,25}{0,5} = 0,5 = P(A)</math> (~~wie erwartet~~ bei stochastischer Unabhängigkeit)		:<math>P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0,25}{0,5} = 0,5 = P(A)</math>
			(Dies ist das zu erwartende Resultat bei stochastischer Unabhängigkeit, da Vorwissen B das Eintreten von A nicht beeinflusst).

	[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]		[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
	[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]		[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]

Signifikanztest

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	Eine Maschine produziert in Serie Teile. Es wird eine Stichprobe von <math>n=20</math> Teilen gezogen. Die binomialverteilte Zufallsvariable <math>X</math> gibt an, wie viele fehlerhafte Teile in der Stichprobe gefunden wurden.		Eine Maschine produziert in Serie Teile. Es wird eine Stichprobe von <math>n=20</math> Teilen gezogen. Die binomialverteilte Zufallsvariable <math>X</math> gibt an, wie viele fehlerhafte Teile in der Stichprobe gefunden wurden.
	* Nullhypothese: <math>H_0: p = 0,05</math> (Fehlerquote beträgt 5 %).		* Nullhypothese: <math>H_0: p = 0,05</math> (Fehlerquote beträgt 5 %).