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Varianz (Statistik)

Flbkwikiadmin — Fri, 18 Sep 2026 08:35:11 GMT

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	Wurden [[~~H%C3%A4ufigkeit~~#~~Statistische_Begriffe~~\|Merkmalsausprägungen]] zu einem [[~~H%C3%A4ufigkeit~~#~~Statistische_Begriffe~~\|quantitativen Merkmal]] erhoben, ist die Varianz das arithmetische Mittel der quadrierten Abweichungen der Merkmalsausprägungen vom Mittelwert. Die Varianz quantifiziert also, wie stark die einzelnen Datenpunkte im Datensatz um den Mittelwert streuen.		Wurden [[Häufigkeit#Statistische Begriffe\|Merkmalsausprägungen]] zu einem [[Häufigkeit#Statistische Begriffe\|quantitativen Merkmal]] erhoben, ist die Varianz das arithmetische Mittel der quadrierten Abweichungen der Merkmalsausprägungen vom Mittelwert. Die Varianz quantifiziert also, wie stark die einzelnen Datenpunkte im Datensatz um den Mittelwert streuen.

	==Definition==		==Definition==
	Es sei eine Zahlenfolge <math>x_1,x_2,~~...~~,x_n \in \mathbb{R}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und dem [[~~Arithmetisches_Mittel~~\|arithmetischen Mittel]] <math>\bar{x}</math> gegeben, dann heißt <math>s^2=\frac{(x_1-\bar{x})^1+(~~x_1~~-\bar{x})^2+~~...~~+(x_n-\bar{x})^n}{n}</math> '''Varianz'''.		Es sei eine Zahlenfolge <math>x_1, x_2, \dots, x_n \in \mathbb{R}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und dem [[Arithmetisches Mittel\|arithmetischen Mittel]] <math>\bar{x}</math> gegeben, dann heißt <math>s^2 = \frac{(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + \dots + (x_n - \bar{x})^2}{n}</math> '''Varianz'''.

	<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/maEsC-e7hkA?si=Cguc4VtTTmFPrWiH" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>		<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/maEsC-e7hkA?si=Cguc4VtTTmFPrWiH" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>

	==Varianz und Häufigkeiten==		==Varianz und Häufigkeiten==
	Es ~~sei~~ <math>~~a_i~~</math> die [[~~H%C3%A4ufigkeit~~#~~Definition~~\|~~absolute Häufigkeit~~]] ~~der~~ [[~~H%C3%A4ufigkeit~~#~~Statistische_Begriffe~~\|~~Merkmalsausprägung~~]] ~~<math>x_i</math> eines~~ [[~~H%C3%A4ufigkeit~~#~~Statistische_Begriffe~~\|~~quantitativen Merkmals~~]] ~~mit~~ <math>n,~~a_i~~\in\mathbb{N}</math>, <math>~~i \in \{1,...,~~n\}</math>, <math>~~x_i \in~~ \~~mathbb~~{R}~~</math> und <math>\bar~~{x}</math> ~~das~~ [[~~Arithmetisches_Mittel~~\|~~arithmetische~~ Mittel]]~~. Der [[H%C3%A4ufigkeit#Statistische_Begriffe\|Erhebungsumfang]] ist~~ <math>n</math>~~. Der~~ Wert <math>s^2=\frac{a_1\cdot (x_1-\bar{x})^2+a_2 \cdot (~~x_1~~-\bar{x})^2+~~...~~+~~a_n~~ \cdot (~~x_n~~-\bar{x})^n}{n}</math> ~~heißt~~ '''Varianz'''.		Es seien <math>x_1, x_2, \dots, x_k</math> die verschiedenen [[Häufigkeit#Statistische Begriffe\|Merkmalsausprägungen]] eines [[Häufigkeit#Statistische Begriffe\|quantitativen Merkmals]] mit den jeweiligen [[Häufigkeit#Definition\|absoluten Häufigkeiten]] <math>a_1, a_2, \dots, a_k \in \mathbb{N}</math>. Der [[Häufigkeit#Statistische Begriffe\|Erhebungsumfang]] sei <math>n</math>, wobei <math>\sum_{i=1}^{k} a_i = n</math> gilt. Mit dem [[Arithmetisches Mittel\|arithmetischen Mittel]] <math>\bar{x}</math> heißt der Wert
			<math>s^2 = \frac{a_1 \cdot (x_1 - \bar{x})^2 + a_2 \cdot (x_2 - \bar{x})^2 + \dots + a_k \cdot (x_k - \bar{x})^2}{n}</math>
			'''Varianz'''.

	==Standardabweichung==		==Standardabweichung==
	Es sei eine Zahlenfolge <math>x_1,x_2,~~...~~,x_n \in \mathbb{R}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und der Varianz <math>s^2</math> gegeben, dann heißt <math>s=\sqrt{s^2}</math> '''Standardabweichung'''.		Es sei eine Zahlenfolge <math>x_1, x_2, \dots, x_n \in \mathbb{R}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und der Varianz <math>s^2</math> gegeben, dann heißt <math>s = \sqrt{s^2}</math> '''Standardabweichung'''.

	==Beispiele==		==Beispiele==
	===Varianz und Standardabweichung berechnen===		===Varianz und Standardabweichung berechnen===
	Die folgende Tabelle zeigt ein Beispiel für eine [[~~H%C3%A4ufigkeit~~#~~Statistische_Begriffe~~\|Urliste]]. Die [[~~H%C3%A4ufigkeit~~#~~Statistische_Begriffe~~\|Stichprobe]] besteht aus den betrachteten Schülern. ~~Es wird für~~ das [[~~H%C3%A4ufigkeit~~#~~Statistische_Begriffe~~\|quantitative Merkmal]] Körpergröße in cm die Varianz berechnet.		Die folgende Tabelle zeigt ein Beispiel für eine [[Häufigkeit#Statistische Begriffe\|Urliste]]. Die [[Häufigkeit#Statistische Begriffe\|Stichprobe]] besteht aus den betrachteten Schülern. Für das [[Häufigkeit#Statistische Begriffe\|quantitative Merkmal]] Körpergröße in cm wird die Varianz berechnet.
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	#Die Merkmalsausprägungen des Merkmals Körpergröße in cm sind die Werte 183; 172; 163; 154; 158; 166; 177; 188; 190.		# Die Merkmalsausprägungen des Merkmals Körpergröße in cm sind die Werte 183, 172, 163, 154, 158, 166, 177, 188 und 190.
	#Der Erhebungsumfang beträgt 9, da die Körpergröße von 9 Schülern erhoben wurde.		# Der Erhebungsumfang beträgt 9, da die Körpergröße von 9 Schülern erhoben wurde.
	#Das arithmetische Mittel ist <math>\bar{x}=\frac{183+ 172+ 163+ 154+ 158+ 166+ 177+ 188+ 190}{9}\~~approx172~~,33</math>		# Das arithmetische Mittel ist <math>\bar{x} = \frac{183 + 172 + 163 + 154 + 158 + 166 + 177 + 188 + 190}{9} \approx 172{,}33</math>.
	#Die Varianz ist <math>s^2=\frac{(183-172,33)^2+(172-172,33)^2+(163-172,33)^2+(154-172,33)^2+(158-172,33)^2+(166-172,33)^2+(177-172,33)^2+(188-172,33)^2+(190-172,33)^2}{9}\approx 151,23</math>		# Die Varianz ist <math>s^2 = \frac{(183 - 172{,}33)^2 + (172 - 172{,}33)^2 + (163 - 172{,}33)^2 + (154 - 172{,}33)^2 + (158 - 172{,}33)^2 + (166 - 172{,}33)^2 + (177 - 172{,}33)^2 + (188 - 172{,}33)^2 + (190 - 172{,}33)^2}{9} \approx 151{,}23</math>.
	#Die Standardabweichung ist <math>s=\sqrt{151,23} \approx 12,29</math>		# Die Standardabweichung ist <math>s = \sqrt{151{,}23} \approx 12{,}29</math>.

	===Varianz und Standardabweichung mit Häufigkeiten berechnen===		===Varianz und Standardabweichung mit Häufigkeiten berechnen===
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	#Die Merkmalsausprägungen des Merkmals Körpergröße in cm sind die Werte 183; 172; 163; 154; 158; 166; 177; 188; 190~~; 154~~.		# Die Merkmalsausprägungen des Merkmals Körpergröße in cm sind die Werte 183, 172, 163, 154, 158, 166, 177, 188 und 190.
	#Der Erhebungsumfang beträgt 10, da die Körpergröße von 10 Schülern erhoben wurde.		# Der Erhebungsumfang beträgt 10, da die Körpergröße von 10 Schülern erhoben wurde.
	#Die absolute Häufigkeit der Merkmalsausprägung 154 ist 2, da zwei Schüler 154 cm groß sind.		# Die absolute Häufigkeit der Merkmalsausprägung 154 ist 2, da zwei Schüler 154 cm groß sind.
	#Die absoluten Häufigkeiten der restlichen Merkmalsausprägungen sind 1, da jede andere Körpergröße nur genau einmal vorkommt.		# Die absoluten Häufigkeiten der restlichen Merkmalsausprägungen sind 1, da jede andere Körpergröße nur genau einmal vorkommt.
	#Das arithmetische Mittel ist <math>\bar{x}=\frac{183+ 172+ 163+ 154+ 158+ 166+ 177+ 188+ 190 + 2 \cdot 154}{10} = 170,5</math>		# Das arithmetische Mittel ist <math>\bar{x} = \frac{183 + 172 + 163 + 154 + 158 + 166 + 177 + 188 + 190 + 2 \cdot 154}{10} = 170{,}5</math>.
	#Die Varianz ist <math>s^2=\frac{2 \cdot (154-170,5)^2+(183-170,5)^2+(172-170,5)^2+(163-170,5)^2+(158-170,5)^2+(166-170,5)^2+(177-170,5)^2+(188-170,5)^2+(190-170,~~5)^2+(190-170,~~5)^2}{10} =~~177~~,25</math>		# Die Varianz ist <math>s^2 = \frac{2 \cdot (154 - 170{,}5)^2 + (183 - 170{,}5)^2 + (172 - 170{,}5)^2 + (163 - 170{,}5)^2 + (158 - 170{,}5)^2 + (166 - 170{,}5)^2 + (177 - 170{,}5)^2 + (188 - 170{,}5)^2 + (190 - 170{,}5)^2}{10} = 166{,}45</math>.
	#Die Standardabweichung ist <math>s=\sqrt{~~177~~,25} \approx 13,31</math>		# Die Standardabweichung ist <math>s = \sqrt{166{,}45} \approx 12{,}90</math>.

	Die Abweichung vom Mittelwert ist in diesem Beispiel größer als zuvor. Die Körpergrößen der Schüler weisen also eine höhere Streuung auf.		Die Abweichung vom Mittelwert ist in diesem Beispiel größer als zuvor. Die Körpergrößen der Schüler weisen also eine höhere Streuung auf.

Säulendiagramm

Flbkwikiadmin — Fri, 18 Sep 2026 08:33:49 GMT

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	[[Häufigkeit\|Häufigkeiten]] von Merkmalsausprägungen aus statistischen [[~~H%C3%A4ufigkeit~~#Datenerhebung\|Datenerhebungen]] können wir ~~mit Hilfe~~ von Diagrammen darstellen. Wir betrachten im Folgenden das Säulendiagramm.		[[Häufigkeit\|Häufigkeiten]] von Merkmalsausprägungen aus statistischen [[Häufigkeit#Datenerhebung\|Datenerhebungen]] können wir mithilfe von Diagrammen darstellen. Wir betrachten im Folgenden das Säulendiagramm.

	==Definition==		==Definition==
	Zu einem [[~~H%C3%A4ufigkeit~~#~~Statistische_Begriffe~~\|Merkmal]] aus einer [[~~H%C3%A4ufigkeit~~#Datenerhebung\|Datenerhebung]] seien die [[Häufigkeit\|Häufigkeiten]] der [[~~H%C3%A4ufigkeit~~#~~Statistische_Begriffe~~\|Merkmalsausprägungen]] gegeben. In einem '''Säulendiagramm''' werden auf der waagerechten Achse (x-Achse) die Merkmalsausprägungen und auf der senkrechten Achse (y-Achse) die absoluten oder relativen Häufigkeiten der jeweiligen Merkmalsausprägung eingetragen.		Zu einem [[Häufigkeit#Statistische Begriffe\|Merkmal]] aus einer [[Häufigkeit#Datenerhebung\|Datenerhebung]] seien die [[Häufigkeit\|Häufigkeiten]] der [[Häufigkeit#Statistische Begriffe\|Merkmalsausprägungen]] gegeben. In einem '''Säulendiagramm''' werden auf der waagerechten Achse (x-Achse) die Merkmalsausprägungen und auf der senkrechten Achse (y-Achse) die absoluten oder relativen Häufigkeiten der jeweiligen Merkmalsausprägung eingetragen.

	<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/UDd0EebVV9A?si=X-rpVq5oEb5UIWJW" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>		<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/UDd0EebVV9A?si=X-rpVq5oEb5UIWJW" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>
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	==Beispiele==		==Beispiele==
	===Ein Säulendiagramm zeichnen===		===Ein Säulendiagramm zeichnen===
	Ein Würfel wurde 20 mal geworfen. In der folgenden Tabelle sind für das [[~~H%C3%A4ufigkeit~~#~~Statistische_Begriffe~~\|Merkmal]] Würfelaugen die [[Häufigkeit\|Häufigkeiten]] zu den [[~~H%C3%A4ufigkeit~~#~~Statistische_Begriffe~~\|Merkmalsausprägungen]] 1, 2 ,3 ,4 ,5 ,6 festgehalten.		Ein Würfel wurde 20-mal geworfen. In der folgenden Tabelle sind für das [[Häufigkeit#Statistische Begriffe\|Merkmal]] Würfelaugen die [[Häufigkeit\|Häufigkeiten]] zu den [[Häufigkeit#Statistische Begriffe\|Merkmalsausprägungen]] 1, 2, 3, 4, 5 und 6 festgehalten.
	{\| class="wikitable"		{\| class="wikitable"
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	===Häufigkeiten aus einem Säulendiagramm ablesen===		===Häufigkeiten aus einem Säulendiagramm ablesen===
	Die Höhe einer Säule gibt die [[Häufigkeit]] an. Bei der Darstellung ist es wichtig, dass auf der y-Achse einheitliche Schritte gewählt wurden. Die [[~~H%C3%A4ufigkeit~~#~~Statistische_Begriffe~~\|Merkmalsausprägung]] steht auf der x-Achse. Beispielsweise lässt sich aus dem obigen Säulendiagramm ablesen, dass die Augenzahl 3 insgesamt ~~2 mal~~ gewürfelt wurde. Die relative Häufigkeit beträgt 0,1, d. h. 10 % der Würfe hatten die Augenzahl 3.		Die Höhe einer Säule gibt die [[Häufigkeit]] an. Bei der Darstellung ist es wichtig, dass auf der y-Achse einheitliche Schritte gewählt wurden. Die [[Häufigkeit#Statistische Begriffe\|Merkmalsausprägung]] steht auf der x-Achse. Beispielsweise lässt sich aus dem obigen Säulendiagramm ablesen, dass die Augenzahl 3 insgesamt zweimal gewürfelt wurde. Die relative Häufigkeit beträgt 0,1, d. h. 10 % der Würfe hatten die Augenzahl 3.

	[[Kategorie:Statistik]]		[[Kategorie:Statistik]]
	[[Kategorie:FHR_WuV_Mathe]]		[[Kategorie:FHR_WuV_Mathe]]
	[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]		[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]

Spannweite

Flbkwikiadmin — Fri, 18 Sep 2026 08:32:49 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 18. September 2026, 10:32 Uhr
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	Wurden [[~~H%C3%A4ufigkeit~~#~~Statistische_Begriffe~~\|Merkmalsausprägungen]] zu einem [[~~H%C3%A4ufigkeit~~#~~Statistische_Begriffe~~\|quantitativen Merkmal]] erhoben~~. Dann~~ gibt die Spannweite die Entfernung zwischen der größten und der kleinsten Merkmalsausprägung an.		Wurden [[Häufigkeit#Statistische Begriffe\|Merkmalsausprägungen]] zu einem [[Häufigkeit#Statistische Begriffe\|quantitativen Merkmal]] erhoben, dann gibt die Spannweite die Entfernung zwischen der größten und der kleinsten Merkmalsausprägung an.

	==Definition==		==Definition==
	Es sei eine Zahlenfolge <math>x_1,x_2,~~...~~,x_n \in \mathbb{R}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> gegeben, dann heißt <math>R=max\{x_1,x_2,~~...~~ x_n\}-min\{x_1,x_2,~~...~~, x_n\}</math> '''Spannweite'''.		Es sei eine Zahlenfolge <math>x_1, x_2, \dots, x_n \in \mathbb{R}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> gegeben, dann heißt <math>R = \max\{x_1, x_2, \dots, x_n\} - \min\{x_1, x_2, \dots, x_n\}</math> '''Spannweite'''.

	<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/1glDhGv8ORE?si=lGDGmd-ABKkdgbDd" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>		<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/1glDhGv8ORE?si=lGDGmd-ABKkdgbDd" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>

	==Beispiel==		==Beispiel==
	Die folgende Tabelle zeigt ein Beispiel für eine Urliste. Die Stichprobe besteht aus den betrachteten Schülern. ~~Es wird für~~ das quantitative Merkmal Körpergröße in cm wird die Spannweite berechnet.		Die folgende Tabelle zeigt ein Beispiel für eine Urliste. Die Stichprobe besteht aus den betrachteten Schülern. Für das quantitative Merkmal Körpergröße in cm wird die Spannweite berechnet.
	{\| class="wikitable"		{\| class="wikitable"
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	#Die größte Merkmalsausprägung ist 190.		# Die größte Merkmalsausprägung ist 190.
	#Die kleinste Merkmalsausprägung ist 154.		# Die kleinste Merkmalsausprägung ist 154.
	#Die Spannweite ist <math>R=190-154=36</math>.		# Die Spannweite ist <math>R = 190 - 154 = 36</math>.

	[[Kategorie:Statistik]]		[[Kategorie:Statistik]]
	[[Kategorie:FHR_WuV_Mathe]]		[[Kategorie:FHR_WuV_Mathe]]
	[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]		[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]

Median

Flbkwikiadmin — Fri, 18 Sep 2026 08:32:09 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 18. September 2026, 10:32 Uhr
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	Der Median ist ein wichtiges Maß für die zentrale Tendenz eines Datensatzes. Im Gegensatz zum [[~~Arithmetisches_Mittel~~ \| arithmetischen Mittel]], das den Durchschnitt aller Werte berechnet, repräsentiert der Median den mittleren Wert, nachdem die [[Daten]] in aufsteigender oder absteigender Reihenfolge sortiert wurden.		Der Median ist ein wichtiges Maß für die zentrale Tendenz eines Datensatzes. Im Gegensatz zum [[Arithmetisches Mittel\|arithmetischen Mittel]], das den Durchschnitt aller Werte berechnet, repräsentiert der Median den mittleren Wert, nachdem die [[Daten]] in aufsteigender oder absteigender Reihenfolge sortiert wurden.

	Wurden [[~~H%C3%A4ufigkeit~~#~~Statistische_Begriffe~~\|Merkmalsausprägungen]] zu einem [[~~H%C3%A4ufigkeit~~#~~Statistische_Begriffe~~\|quantitativen Merkmal]] erhoben und nach ihrer Größe sortiert, dann ist der Median bei einer ungeraden Anzahl an Merkmalsausprägungen die Merkmalsausprägung in der Mitte. Bei einer geraden Anzahl an Merkmalsausprägungen, wird der [[~~Arithmetisches_Mittel~~\|Durchschnitt]] der beiden mittleren Merkmalsausprägungen als Median bezeichnet.		Wurden [[Häufigkeit#Statistische Begriffe\|Merkmalsausprägungen]] zu einem [[Häufigkeit#Statistische Begriffe\|quantitativen Merkmal]] erhoben und nach ihrer Größe sortiert, dann ist der Median bei einer ungeraden Anzahl an Merkmalsausprägungen die Merkmalsausprägung in der Mitte. Bei einer geraden Anzahl an Merkmalsausprägungen wird der [[Arithmetisches Mittel\|Durchschnitt]] der beiden mittleren Merkmalsausprägungen als Median bezeichnet.

	==Definition==		==Definition==
	Es sei eine Zahlenfolge <math>x_1,x_2,~~...~~,x_n \in \mathbb{R}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> gegeben und nach ihrer Größe in nicht absteigender Reihenfolge geordnet, d. h. es gilt <math>x_1 \leq x_2 \leq ~~...~~ \leq x_n</math>. Ist die Anzahl <math>n</math> der Zahlenwerte ungerade, heißt der Zahlenwert <math>x_{\frac{n+1}{2}}</math> '''Median'''. Ist die Anzahl <math>n</math> der Zahlenwerte eine gerade Zahl, heißt der Wert <math>\frac{x_{\frac{n}{2}}+x_{\frac{n+1}{2}}}{2}</math> '''Median'''.		Es sei eine Zahlenfolge <math>x_1, x_2, \dots, x_n \in \mathbb{R}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> gegeben und nach ihrer Größe in nicht absteigender Reihenfolge geordnet, d. h., es gilt <math>x_1 \leq x_2 \leq \dots \leq x_n</math>. Ist die Anzahl <math>n</math> der Zahlenwerte ungerade, heißt der Zahlenwert <math>x_{\frac{n+1}{2}}</math> '''Median'''. Ist die Anzahl <math>n</math> der Zahlenwerte eine gerade Zahl, heißt der Wert <math>\frac{x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2} + 1}}{2}</math> '''Median'''.

	<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/maEsC-e7hkA?si=Cguc4VtTTmFPrWiH" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>		<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/maEsC-e7hkA?si=Cguc4VtTTmFPrWiH" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>
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	#Ordnen der Merkmalsausprägungen des Merkmals Körpergröße in cm ergibt: 154; 158; 163; 166; 172; 177; 183; 188; 190		# Ordnen der Merkmalsausprägungen des Merkmals Körpergröße in cm ergibt: 154; 158; 163; 166; 172; 177; 183; 188; 190.
	#Die Anzahl der Merkmalsausprägungen ist ungerade, da der Erhebungsumfang 9 beträgt.		# Die Anzahl der Merkmalsausprägungen ist ungerade, da der Erhebungsumfang 9 beträgt.
	#Der Median ist 172 und befindet sich an der Stelle <math>\frac{9+1}{2}=5</math>.		# Der Median ist 172 und befindet sich an der Stelle <math>\frac{9+1}{2} = 5</math>.

	===Median für eine ~~ungerade~~ Anzahl an Zahlenwerten ermitteln===		===Median für eine gerade Anzahl an Zahlenwerten ermitteln===
	Fügen wir noch einen 10. Schüler mit der Körpergröße 154 cm hinzu, so erhalten wir die folgende Urliste:		Fügen wir noch einen 10. Schüler mit der Körpergröße 154 cm hinzu, so erhalten wir die folgende Urliste:
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	#Ordnen der Merkmalsausprägungen des Merkmals Körpergröße in cm ergibt: 154; 154; 158; 163; 166; 172; 177; 183; 188; 190		# Ordnen der Merkmalsausprägungen des Merkmals Körpergröße in cm ergibt: 154; 154; 158; 163; 166; 172; 177; 183; 188; 190.
	#Die Anzahl der Merkmalsausprägungen ist gerade, da der Erhebungsumfang 10 beträgt.		# Die Anzahl der Merkmalsausprägungen ist gerade, da der Erhebungsumfang 10 beträgt.
	#Die Zahlenwerte in der Mitte ~~sind~~ an den Stellen <math>\frac{10}{2}=5</math> und <math>\frac{10}{2}+1=6</math>. Dort stehen die Werte 166 und 172, von denen wir den [[~~Arithmetisches_Mittel~~\|Durchschnitt]] berechnen. Der Median ist dann <math>\frac{166+172}{2}=169</math>.		# Die Zahlenwerte in der Mitte befinden sich an den Stellen <math>\frac{10}{2} = 5</math> und <math>\frac{10}{2} + 1 = 6</math>. Dort stehen die Werte 166 und 172, von denen wir den [[Arithmetisches Mittel\|Durchschnitt]] berechnen. Der Median ist dann <math>\frac{166 + 172}{2} = 169</math>.

	[[Kategorie:Statistik]]		[[Kategorie:Statistik]]
	[[Kategorie:FHR_WuV_Mathe]]		[[Kategorie:FHR_WuV_Mathe]]
	[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]		[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]

Kreisdiagramm

Flbkwikiadmin — Fri, 18 Sep 2026 08:30:43 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 18. September 2026, 10:30 Uhr
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	[[Häufigkeit\|Häufigkeiten]] von Merkmalsausprägungen aus statistischen [[~~H%C3%A4ufigkeit~~#Datenerhebung\|Datenerhebungen]] können wir ~~mit Hilfe~~ von Diagrammen darstellen. Wir betrachten im Folgenden das Kreisdiagramm.		[[Häufigkeit\|Häufigkeiten]] von Merkmalsausprägungen aus statistischen [[Häufigkeit#Datenerhebung\|Datenerhebungen]] können wir mithilfe von Diagrammen darstellen. Wir betrachten im Folgenden das Kreisdiagramm.

	==Definition==		==Definition==
	Zu einem [[~~H%C3%A4ufigkeit~~#~~Statistische_Begriffe~~\|Merkmal]] aus einer [[~~H%C3%A4ufigkeit~~#Datenerhebung\|Datenerhebung]] seien die [[Häufigkeit\|Häufigkeiten]] der [[~~H%C3%A4ufigkeit~~#~~Statistische_Begriffe~~\|Merkmalsausprägungen]] gegeben. In einem '''Kreisdiagramm''' werden die 360° des Kreises gemäß den relativen Häufigkeiten der Merkmalsausprägungen aufgeteilt. Alternativ kann der Kreis in so viele gleich große Teile geteilt werden, wie der Erhebungsumfang beträgt. Die absolute Häufigkeit einer Merkmalsausprägung für ein Objekt gibt dann an, wie viele Teile des Kreises belegt werden.		Zu einem [[Häufigkeit#Statistische Begriffe\|Merkmal]] aus einer [[Häufigkeit#Datenerhebung\|Datenerhebung]] seien die [[Häufigkeit\|Häufigkeiten]] der [[Häufigkeit#Statistische Begriffe\|Merkmalsausprägungen]] gegeben. In einem '''Kreisdiagramm''' werden die 360° des Kreises gemäß den relativen Häufigkeiten der Merkmalsausprägungen aufgeteilt. Alternativ kann der Kreis in so viele gleich große Teile geteilt werden, wie der Erhebungsumfang beträgt. Die absolute Häufigkeit einer Merkmalsausprägung für ein Objekt gibt dann an, wie viele Teile des Kreises belegt werden.

	<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/UDd0EebVV9A?si=X-rpVq5oEb5UIWJW" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>		<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/UDd0EebVV9A?si=X-rpVq5oEb5UIWJW" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>
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	==Beispiele==		==Beispiele==
	===Ein Kreisdiagramm zeichnen===		===Ein Kreisdiagramm zeichnen===
	Ein Würfel wurde 20 mal geworfen. In der folgenden Tabelle sind für das [[~~H%C3%A4ufigkeit~~#~~Statistische_Begriffe~~\|Merkmal]] Würfelaugen die [[Häufigkeit\|Häufigkeiten]] zu den [[~~H%C3%A4ufigkeit~~#~~Statistische_Begriffe~~\|Merkmalsausprägungen]] 1, 2 ,3 ,4 ,5 ,6 festgehalten.		Ein Würfel wurde 20-mal geworfen. In der folgenden Tabelle sind für das [[Häufigkeit#Statistische Begriffe\|Merkmal]] Würfelaugen die [[Häufigkeit\|Häufigkeiten]] zu den [[Häufigkeit#Statistische Begriffe\|Merkmalsausprägungen]] 1, 2, 3, 4, 5 und 6 festgehalten.
	{\| class="wikitable"		{\| class="wikitable"
	\|-		\|-
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	Die relative Häufigkeit der Augenzahl 1 beträgt 0,15, demnach müssen <math>0,15\cdot360\text{°}=54\text{°}</math> des Kreises markiert werden.		Die relative Häufigkeit der Augenzahl 1 beträgt 0,15, demnach müssen <math>0,15\cdot360\text{°}=54\text{°}</math> des Kreises markiert werden.

	'''Alternativ''': Im obigen Würfelspiel wurde insgesamt 20 mal geworfen. Teilen wir den Kreis in 20 ~~gleichgroße~~ Teile auf, dann muss ein Teil einen Winkel von <math>\frac{1}{20}\cdot360\text{°}=18\text{°}</math> haben. Die absolute Häufigkeit der Augenzahl 1 beträgt 3, also werden dafür drei Teile des Kreises markiert. Insgesamt müssen also <math>18\text{°}\cdot 3=54\text{°}</math> des Kreises markiert werden.		'''Alternativ''': Im obigen Würfelspiel wurde insgesamt 20-mal geworfen. Teilen wir den Kreis in 20 gleich große Teile auf, dann muss ein Teil einen Winkel von <math>\frac{1}{20}\cdot360\text{°}=18\text{°}</math> haben. Die absolute Häufigkeit der Augenzahl 1 beträgt 3, also werden dafür drei Teile des Kreises markiert. Insgesamt müssen also <math>18\text{°}\cdot 3=54\text{°}</math> des Kreises markiert werden.

	Die Kreisdiagramme zum Würfelspiel sehen wie folgt aus:		Die Kreisdiagramme zum Würfelspiel sehen wie folgt aus:
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	===Häufigkeiten aus einem Kreisdiagramm ablesen===		===Häufigkeiten aus einem Kreisdiagramm ablesen===
	Die Größe eines Kreisausschnitts gibt die [[Häufigkeit]] an. Die [[~~H%C3%A4ufigkeit~~#~~Statistische_Begriffe~~\|Merkmalsausprägung]] steht außerhalb des jeweiligen Kreisausschnitts. Die dazugehörige Häufigkeit steht im Kreisausschnitt. Beispielsweise lässt sich aus dem obigen Kreisdiagramm ablesen, dass die Augenzahl 3 insgesamt ~~2 mal~~ gewürfelt wurde. Die relative Häufigkeit beträgt 0,1, d. h. 10 % der Würfe hatten die Augenzahl 3.		Die Größe eines Kreisausschnitts gibt die [[Häufigkeit]] an. Die [[Häufigkeit#Statistische Begriffe\|Merkmalsausprägung]] steht außerhalb des jeweiligen Kreisausschnitts. Die dazugehörige Häufigkeit steht im Kreisausschnitt. Beispielsweise lässt sich aus dem obigen Kreisdiagramm ablesen, dass die Augenzahl 3 insgesamt zweimal gewürfelt wurde. Die relative Häufigkeit beträgt 0,1, d. h. 10 % der Würfe hatten die Augenzahl 3.

	[[Kategorie:Statistik]]		[[Kategorie:Statistik]]
	[[Kategorie:FHR_WuV_Mathe]]		[[Kategorie:FHR_WuV_Mathe]]
	[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]		[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]

Häufigkeit

Flbkwikiadmin — Fri, 18 Sep 2026 08:29:50 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 18. September 2026, 10:29 Uhr
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	==Statistische Begriffe==		==Statistische Begriffe==
	Wird der Teil einer '''Gesamtheit''' (ein Gegenstand, ein Phänomen oder ein System) betrachtet und analysiert, dann spricht man von einer '''Stichprobe'''. Das Ergebnis der Stichprobe wird in einer '''Urliste''' festgehalten. Alle in der Urliste enthaltenen Daten bezeichnet man als '''Rohdaten'''. Der '''Erhebungsumfang''' bezeichnet die Anzahl aller betrachteten Objekte. Die Eigenschaften der Objekte bezeichnen wir als '''Merkmale'''. Die Ausprägung eines Merkmals ~~<math>i</math> heißt~~ '''Merkmalsausprägung''' <math>x_i</math>. Man unterscheidet zwischen '''quantitativen Merkmalen''' (Zahlen: z. B. 160 cm) und '''qualitativen Merkmalen''' (~~z.B.~~ Wörter: z. B. männlich oder weiblich). Eine '''Klasse''' fasst mehrere ~~Merkmalausprägungen~~ zu einer Gruppe zusammen.		Wird der Teil einer '''Gesamtheit''' (ein Gegenstand, ein Phänomen oder ein System) betrachtet und analysiert, dann spricht man von einer '''Stichprobe'''. Das Ergebnis der Stichprobe wird in einer '''Urliste''' festgehalten. Alle in der Urliste enthaltenen Daten bezeichnet man als '''Rohdaten'''. Der '''Erhebungsumfang''' bezeichnet die Anzahl aller betrachteten Objekte. Die Eigenschaften der Objekte bezeichnen wir als '''Merkmale'''. Die Ausprägung eines Merkmals wird als '''Merkmalsausprägung''' <math>x_i</math> bezeichnet. Man unterscheidet zwischen '''quantitativen Merkmalen''' (Zahlen, z. B. 160 cm) und '''qualitativen Merkmalen''' (Wörter, z. B. männlich oder weiblich). Eine '''Klasse''' fasst mehrere Merkmalsausprägungen zu einer Gruppe zusammen.

	==Datenerhebung==		==Datenerhebung==
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	==Beispiele==		==Beispiele==
	Die folgenden Beispiele zeigen wie die oberen Begriffe verwendet werden können.		Die folgenden Beispiele zeigen, wie die oberen Begriffe verwendet werden können.

	====Verwendung der Begriffe====		====Verwendung der Begriffe====
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	\|}		\|}

	In der obigen Tabelle sind Geschlecht und Sportart qualitative Merkmale. Körpergröße in cm ist ein quantitatives Merkmal. Die Merkmalsausprägung zum Merkmal Geschlecht für Schüler 01 ist <math>x_{Geschlecht}=w</math>. Die Merkmalsausprägung zum Merkmal Körpergröße in cm für Schüler 02 ist <math>x_{\text{Körpergröße in cm}}=176</math>.		In der obigen Tabelle sind Geschlecht und Sportart qualitative Merkmale. Körpergröße in cm ist ein quantitatives Merkmal. Die Merkmalsausprägung zum Merkmal Geschlecht für Schüler 01 ist <math>x_{\text{Geschlecht}}=\text{w}</math>. Die Merkmalsausprägung zum Merkmal Körpergröße in cm für Schüler 02 ist <math>x_{\text{Körpergröße in cm}}=176</math>.

	====Klasse====		====Klasse====
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	====Berechnung der Häufigkeiten====		====Berechnung der Häufigkeiten====
	Ein Würfel wurde 20 mal geworfen und die Augenzahl wurde anschließend in der folgenden Urliste festgehalten:		Ein Würfel wurde 20-mal geworfen und die Augenzahl wurde anschließend in der folgenden Urliste festgehalten:

	{\| class="wikitable"		{\| class="wikitable"
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	\| <math>\frac{3}{20}=0,15</math> \|\| 0,1 \|\| <span style="color:green">0,1</span> \|\| 0,2 \|\| 0,25 \|\| 0,2		\| <math>\frac{3}{20}=0,15</math> \|\| 0,1 \|\| <span style="color:green">0,1</span> \|\| 0,2 \|\| 0,25 \|\| 0,2
	\|}		\|}
	So wurde beispielsweise die Augenzahl 1 insgesamt ~~drei mal~~ und die Augenzahl 6 insgesamt ~~vier mal~~ gewürfelt. Der Anteil der Würfe mit Augenzahl 4 an allen Würfen beträgt hierbei <math>\frac{2}{20}= 0,2</math>. Die Augenzahl <span style="color:green">3</span> wurde ~~<span style="color:green">2</span> mal~~ gewürfelt, daher ist die absolute Häufigkeit <span style="color:green">2</span> und die relative Häufigkeit <span style="color:green"><math>\frac{2}{20}=0,1</math></span>.		So wurde beispielsweise die Augenzahl 1 insgesamt dreimal und die Augenzahl 6 insgesamt viermal gewürfelt. Der Anteil der Würfe mit Augenzahl 4 an allen Würfen beträgt hierbei <math>\frac{4}{20}= 0,2</math>. Die Augenzahl <span style="color:green">3</span> wurde zweimal gewürfelt, daher ist die absolute Häufigkeit <span style="color:green">2</span> und die relative Häufigkeit <span style="color:green"><math>\frac{2}{20}=0,1</math></span>.

	[[Kategorie:Statistik]]		[[Kategorie:Statistik]]
	[[Kategorie:FHR_WuV_Mathe]]		[[Kategorie:FHR_WuV_Mathe]]
	[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]		[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]

Arithmetisches Mittel

Flbkwikiadmin — Fri, 18 Sep 2026 08:27:41 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 18. September 2026, 10:27 Uhr
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	Das ~~Arithmetische~~ Mittel gibt einen typischen oder durchschnittlichen Wert im Datensatz an. Es ist ein Maß für das Zentrum der Datenverteilung. Dies ermöglicht es, einen schnellen Überblick über das "durchschnittliche" Ausprägungsniveau der untersuchten ~~Variable~~ zu erhalten.		Das arithmetische Mittel gibt einen typischen oder durchschnittlichen Wert in einem Datensatz an. Es ist ein Maß für das Zentrum der Datenverteilung. Dies ermöglicht es, einen schnellen Überblick über das durchschnittliche Ausprägungsniveau der untersuchten Variablen zu erhalten.

	Wurden [[~~H%C3%A4ufigkeit~~#~~Statistische_Begriffe~~\|Merkmalsausprägungen]] zu einem [[~~H%C3%A4ufigkeit~~#~~Statistische_Begriffe~~\|quantitativen Merkmal]] erhoben, dann ist die Summe ~~der~~ Merkmalsausprägungen geteilt durch den Erhebungsumfang das arithmetische Mittel ~~oder~~ umgangssprachlich ~~der~~ Durchschnitt.		Wurden [[Häufigkeit#Statistische Begriffe\|Merkmalsausprägungen]] zu einem [[Häufigkeit#Statistische Begriffe\|quantitativen Merkmal]] erhoben, dann ist die Summe aller Merkmalsausprägungen geteilt durch den Erhebungsumfang das arithmetische Mittel, umgangssprachlich auch als Durchschnitt bezeichnet.

	==Definition==		==Definition==
	Es sei eine Zahlenfolge <math>x_1,x_2,~~...~~,x_n \in \mathbb{R}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> ~~gegeben, dann heißt~~ <math>\bar{x}=\frac{x_1+x_2+~~...~~+x_n}{n}</math> '''arithmetisches Mittel'''.		Gegeben sei eine Zahlenfolge <math>x_1, x_2, \dots, x_n \in \mathbb{R}</math> mit dem Erhebungsumfang <math>n \in \mathbb{N}</math>. Dann wird <math>\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}</math> als '''arithmetisches Mittel''' bezeichnet.

	<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/maEsC-e7hkA?si=Cguc4VtTTmFPrWiH" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>		<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/maEsC-e7hkA?si=Cguc4VtTTmFPrWiH" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>

	==Arithmetisches Mittel und Häufigkeiten==		==Arithmetisches Mittel und Häufigkeiten==
	Es ~~sei~~ <math>~~a_i~~</math> die [[~~H%C3%A4ufigkeit~~#~~Definition~~\|~~absolute Häufigkeit~~]] ~~der~~ [[~~H%C3%A4ufigkeit~~#~~Statistische_Begriffe~~\|~~Merkmalsausprägung~~]] ~~<math>x_i</math> eines~~ [[~~H%C3%A4ufigkeit~~#~~Statistische_Begriffe~~\|~~quantitativen Merkmals~~]] ~~mit~~ <math>n,~~a_i~~\in\mathbb{N}</math>, <math>~~i \in \{1,...,~~n\}</math> ~~und~~ <math>~~x_i~~ \~~in \mathbb~~{R}~~</math>. Der [[H%C3%A4ufigkeit#Statistische_Begriffe\|Erhebungsumfang]] ist <math>~~n</math>. Der Wert <math>\bar{x}=\frac{a_1\cdot x_1+a_2\cdot x_2+~~...~~+~~a_n~~\cdot ~~x_n~~}{n}=\frac{a_1}{n}\cdot x_1+\frac{a_2}{n}\cdot x_2+~~...~~+\frac{~~a_n~~}{n}\cdot ~~x_n~~</math> heißt '''~~arithmetische~~ Mittel'''. Dabei ist <math>\frac{a_i}{n}</math> die relative Häufigkeit der Merkmalsausprägung <math>x_i</math>.		Es seien <math>x_1, x_2, \dots, x_k</math> die verschiedenen [[Häufigkeit#Statistische Begriffe\|Merkmalsausprägungen]] eines [[Häufigkeit#Statistische Begriffe\|quantitativen Merkmals]] mit den jeweiligen [[Häufigkeit#Definition\|absoluten Häufigkeiten]] <math>a_1, a_2, \dots, a_k \in \mathbb{N}</math>. Der [[Häufigkeit#Statistische Begriffe\|Erhebungsumfang]] sei <math>n</math>, wobei <math>\sum_{i=1}^{k} a_i = n</math> gilt. Der Wert
			<math>\bar{x} = \frac{a_1 \cdot x_1 + a_2 \cdot x_2 + \dots + a_k \cdot x_k}{n} = \frac{a_1}{n} \cdot x_1 + \frac{a_2}{n} \cdot x_2 + \dots + \frac{a_k}{n} \cdot x_k</math>
			heißt '''arithmetisches Mittel'''. Dabei ist <math>\frac{a_i}{n}</math> die relative Häufigkeit der Merkmalsausprägung <math>x_i</math>.

	==Beispiele==		==Beispiele==
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	\|}		\|}

	#Die Merkmalsausprägungen des Merkmals Körpergröße in cm sind die Werte 183; 172; 163; 154; 158; 166; 177; 188; 190.		# Die Merkmalsausprägungen des Merkmals Körpergröße in cm sind die Werte 183, 172, 163, 154, 158, 166, 177, 188 und 190.
	#Der Erhebungsumfang beträgt 9, da die Körpergröße von 9 Schülern erhoben wurde.		# Der Erhebungsumfang beträgt 9, da die Körpergröße von 9 Schülern erhoben wurde.
	#Das arithmetische Mittel ist <math>\bar{x}=\frac{183+ 172+ 163+ 154+ 158+ 166+ 177+ 188+ 190}{9}\~~approx172~~,33</math>		# Das arithmetische Mittel ist <math>\bar{x} = \frac{183 + 172 + 163 + 154 + 158 + 166 + 177 + 188 + 190}{9} \approx 172{,}33</math>.

	Die Schüler in der Klasse sind durchschnittlich 172,33 cm groß.		Die Schüler in der Klasse sind durchschnittlich 172,33 cm groß.
Zeile 40:		Zeile 42:
	\|}		\|}

	#Die Merkmalsausprägungen des Merkmals Körpergröße in cm sind die Werte 183; 172; 163; 154; 158; 166; 177; 188; 190~~; 154~~.		# Die Merkmalsausprägungen des Merkmals Körpergröße in cm sind die Werte 183, 172, 163, 154, 158, 166, 177, 188 und 190.
	#Der Erhebungsumfang beträgt 10, da die Körpergröße von 10 Schülern erhoben wurde.		# Der Erhebungsumfang beträgt 10, da die Körpergröße von 10 Schülern erhoben wurde.
	#Die absolute Häufigkeit der Merkmalsausprägung 154 ist 2, da zwei Schüler 154 cm groß sind.		# Die absolute Häufigkeit der Merkmalsausprägung 154 ist 2, da zwei Schüler 154 cm groß sind.
	#Die absoluten Häufigkeiten der restlichen Merkmalsausprägungen sind 1, da jede andere Körpergröße nur genau einmal vorkommt.		# Die absoluten Häufigkeiten der restlichen Merkmalsausprägungen sind 1, da jede andere Körpergröße nur genau einmal vorkommt.
	#Das arithmetische Mittel ist <math>\bar{x}=\frac{183+ 172+ 163+ 2 \cdot 154+ 158+ 166+ 177+ 188+ 190}{10} = 170,5</math>		# Das arithmetische Mittel ist <math>\bar{x} = \frac{183 + 172 + 163 + 2 \cdot 154 + 158 + 166 + 177 + 188 + 190}{10} = 170{,}5</math>.

	Da ein kleiner Schüler hinzugekommen ist, sind die Schüler in der Klasse durchschnittlich nur noch 170,5 cm groß.		Da ein kleiner Schüler hinzugekommen ist, sind die Schüler in der Klasse durchschnittlich nur noch 170,5 cm groß.

Zufallsexperiment

Flbkwikiadmin — Fri, 18 Sep 2026 08:25:06 GMT

Definition

← Nächstältere Version		Version vom 18. September 2026, 10:25 Uhr
Zeile 2:		Zeile 2:

	==Definition==		==Definition==
	In der Wahrscheinlichkeitsrechnung bezeichnet ein '''Zufallsexperiment''' einen Versuch, der unter genau festgelegten Versuchsbedingungen durchgeführt wird und einen zufälligen Ausgang hat. Die möglichen Ausgänge eines Zufallsexperimentes nennt man '''Ergebnisse'''. Wenn man alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperimentes in einer [[Menge]] zusammenfasst, erhält man die '''Ergebnismenge'''.		In der Wahrscheinlichkeitsrechnung bezeichnet ein '''Zufallsexperiment''' einen Versuch, der unter genau festgelegten Versuchsbedingungen durchgeführt wird und einen zufälligen Ausgang hat. Die möglichen Ausgänge eines Zufallsexperimentes nennt man '''Ergebnisse'''. Wenn man alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperimentes in einer [[Menge]] zusammenfasst, erhält man die '''Ergebnismenge'''. Die Ergebnismenge wird mit <math>S</math> oder <math>\Omega</math> bezeichnet.

	<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/amHe2kAOfzA?si=78jb-3Gu5W26yF30" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>		<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/amHe2kAOfzA?si=78jb-3Gu5W26yF30" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>

Kreisdiagramm

Flbkwikiadmin — Thu, 17 Sep 2026 06:37:37 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 17. September 2026, 08:37 Uhr
Zeile 2:		Zeile 2:

	==Definition==		==Definition==
	Zu einem [[H%C3%A4ufigkeit#Statistische_Begriffe\|Merkmal]] aus einer [[H%C3%A4ufigkeit#Datenerhebung\|Datenerhebung]] seien die [[Häufigkeit\|Häufigkeiten]] der [[H%C3%A4ufigkeit#Statistische_Begriffe\|Merkmalsausprägungen]] gegeben. In einem '''Kreisdiagramm''' werden die 360° des Kreises gemäß den relativen Häufigkeiten der ~~Merkmalausprägungen~~ aufgeteilt. Alternativ kann der Kreis in ~~Erhebungsumfang~~ viele, gleich große Teile geteilt werden. Die absolute Häufigkeit einer Merkmalsausprägung für ein Objekt gibt dann an, wie viele Teile des Kreises belegt werden.		Zu einem [[H%C3%A4ufigkeit#Statistische_Begriffe\|Merkmal]] aus einer [[H%C3%A4ufigkeit#Datenerhebung\|Datenerhebung]] seien die [[Häufigkeit\|Häufigkeiten]] der [[H%C3%A4ufigkeit#Statistische_Begriffe\|Merkmalsausprägungen]] gegeben. In einem '''Kreisdiagramm''' werden die 360° des Kreises gemäß den relativen Häufigkeiten der Merkmalsausprägungen aufgeteilt. Alternativ kann der Kreis in so viele gleich große Teile geteilt werden, wie der Erhebungsumfang beträgt. Die absolute Häufigkeit einer Merkmalsausprägung für ein Objekt gibt dann an, wie viele Teile des Kreises belegt werden.

	<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/UDd0EebVV9A?si=X-rpVq5oEb5UIWJW" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>		<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/UDd0EebVV9A?si=X-rpVq5oEb5UIWJW" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>
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	<gallery heights=500px widths=400px>Datei:StatistikKreis.png\|Kreisdiagramm für die Würfelergebnisse</gallery>		<gallery heights=500px widths=400px>Datei:StatistikKreis.png\|Kreisdiagramm für die Würfelergebnisse</gallery>

	===Häufigkeiten aus einem ~~Säulendiagramm~~ ablesen===		===Häufigkeiten aus einem Kreisdiagramm ablesen===
	Die Größe eines Kreisausschnitts gibt die [[Häufigkeit]] an. Die [[H%C3%A4ufigkeit#Statistische_Begriffe\|Merkmalsausprägung]] steht außerhalb des jeweiligen Kreisausschnitts. Die dazugehörige Häufigkeit steht im Kreisausschnitt. Beispielsweise lässt sich aus dem obigen Kreisdiagramm ablesen, dass die Augenzahl 3 insgesamt 2 mal gewürfelt wurde. Die relative Häufigkeit beträgt 0,1, d. h. 10 % der Würfe hatten die Augenzahl 3.		Die Größe eines Kreisausschnitts gibt die [[Häufigkeit]] an. Die [[H%C3%A4ufigkeit#Statistische_Begriffe\|Merkmalsausprägung]] steht außerhalb des jeweiligen Kreisausschnitts. Die dazugehörige Häufigkeit steht im Kreisausschnitt. Beispielsweise lässt sich aus dem obigen Kreisdiagramm ablesen, dass die Augenzahl 3 insgesamt 2 mal gewürfelt wurde. Die relative Häufigkeit beträgt 0,1, d. h. 10 % der Würfe hatten die Augenzahl 3.

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Flbkwikiadmin — Sat, 12 Sep 2026 12:30:44 GMT

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	öffentliche Anstalt.		öffentliche Anstalt.

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	Landesbeauftragte für Datenschutz und Informationsfreiheit		Landesbeauftragte für Datenschutz und Informationsfreiheit
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	nicht statt.		nicht statt.

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	=== 4. Keine Registrierung, keine Konten für Schülerinnen und Schüler ===		=== 5. Keine Registrierung, keine Konten für Schülerinnen und Schüler ===

	Für das Lesen der Inhalte ist keine Anmeldung erforderlich. Eine		Für das Lesen der Inhalte ist keine Anmeldung erforderlich. Eine
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	Seite dauerhaft nachvollziehbar.		Seite dauerhaft nachvollziehbar.

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	Diese Website wird ausschließlich verschlüsselt über HTTPS ausgeliefert,		Diese Website wird ausschließlich verschlüsselt über HTTPS ausgeliefert,
	um die Übertragung der Daten gegen Mitlesen durch Dritte zu schützen.		um die Übertragung der Daten gegen Mitlesen durch Dritte zu schützen.

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	Dieses Wiki enthält Links zu externen Websites. Beim Anklicken eines		Dieses Wiki enthält Links zu externen Websites. Beim Anklicken eines
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	Es wird empfohlen, die dortigen Datenschutzhinweise zu beachten.		Es wird empfohlen, die dortigen Datenschutzhinweise zu beachten.

	=== 9. Auftragsverarbeitung ===		=== 10. Auftragsverarbeitung ===

	Der technische Betrieb dieser Website erfolgt bei ~~[Name des~~		Der technische Betrieb dieser Website erfolgt bei IONOS SE. Mit dem Anbieter besteht ein Vertrag zur
	~~Hosting-Anbieters]~~. Mit dem Anbieter besteht ein Vertrag zur
	Auftragsverarbeitung gemäß Art. 28 DSGVO.		Auftragsverarbeitung gemäß Art. 28 DSGVO.

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	gespeichert.		gespeichert.

	=== 10. Ihre Rechte ===		=== 11. Ihre Rechte ===

	Sie haben gegenüber dem Verantwortlichen die folgenden Rechte		Sie haben gegenüber dem Verantwortlichen die folgenden Rechte
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	Kontaktdaten.		Kontaktdaten.

	=== 11. Beschwerderecht bei der Aufsichtsbehörde ===		=== 12. Beschwerderecht bei der Aufsichtsbehörde ===

	Unabhängig davon steht Ihnen ein Beschwerderecht bei einer		Unabhängig davon steht Ihnen ein Beschwerderecht bei einer
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	Landesbeauftragte für Datenschutz und Informationsfreiheit		Landesbeauftragte für Datenschutz und Informationsfreiheit
	Nordrhein-Westfalen<br />		Nordrhein-Westfalen<br />
	~~[Anschrift]~~<br />		Kavalleriestraße 2-4, 40213 Düsseldorf-Stadtbezirk 3<br />
	[~~Website~~]		[https://www.ldi.nrw.de/ https://www.ldi.nrw.de/]

	=== 12. Änderungen dieser Datenschutzerklärung ===		=== 13. Änderungen dieser Datenschutzerklärung ===

	Diese Datenschutzerklärung wird angepasst, sobald Änderungen an der		Diese Datenschutzerklärung wird angepasst, sobald Änderungen an der
	Website oder an den rechtlichen Rahmenbedingungen dies erforderlich		Website oder an den rechtlichen Rahmenbedingungen dies erforderlich
	machen.		machen.

Flbkwiki:Über FLBK-Wiki

Flbkwikiadmin — Sat, 12 Sep 2026 11:54:53 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 12. September 2026, 13:54 Uhr
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	hinausgehende Verwendung, insbesondere eine Veröffentlichung oder		hinausgehende Verwendung, insbesondere eine Veröffentlichung oder
	kommerzielle Nutzung, bedarf der vorherigen Zustimmung.		kommerzielle Nutzung, bedarf der vorherigen Zustimmung.


	=== Technischer Hinweis ===		=== Technischer Hinweis ===

Flbkwiki:Über FLBK-Wiki

Flbkwikiadmin — Sat, 12 Sep 2026 11:54:47 GMT

Die Seite wurde neu angelegt: „== Über das FLBK-Wiki == === Zweck === Das FLBK-Wiki ist ein Nachschlagewerk für Unterrichtsinhalte des Friedrich-List-Berufskollegs Hamm. Es sammelt Definitionen, Sätze, Beispiele und Erläuterungen aus den Fächern Mathematik und Informatik und stellt sie dauerhaft und geräteunabhängig zur Verfügung. Das Wiki richtet sich in erster Linie an die Schülerinnen und Schüler der Bildungsgänge des Berufskollegs. Es kann zur Vor- und Nachbereitung d…“

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== Über das FLBK-Wiki ==

=== Zweck ===

Das FLBK-Wiki ist ein Nachschlagewerk für Unterrichtsinhalte des
Friedrich-List-Berufskollegs Hamm. Es sammelt Definitionen, Sätze,
Beispiele und Erläuterungen aus den Fächern Mathematik und Informatik
und stellt sie dauerhaft und geräteunabhängig zur Verfügung.

Das Wiki richtet sich in erster Linie an die Schülerinnen und Schüler
der Bildungsgänge des Berufskollegs. Es kann zur Vor- und Nachbereitung
des Unterrichts, zur Wiederholung und zur Prüfungsvorbereitung genutzt
werden.

=== Abgrenzung zu anderen Angeboten ===

Das Wiki dient ausschließlich der '''Darstellung''' von Inhalten. Es
enthält keine Aufgaben, Tests oder Leistungsüberprüfungen.

Übungsaufgaben, Lernkontrollen, Materialien zu einzelnen Kursen sowie
alle organisatorischen Inhalte finden sich auf der Lernplattform der
Schule unter [https://elearning.flbk-hamm.de elearning.flbk-hamm.de].

=== Redaktion und Mitarbeit ===

Die Inhalte werden ausschließlich von Lehrkräften der Schule erstellt und
gepflegt. Eine Bearbeitung durch Schülerinnen und Schüler ist nicht
vorgesehen; eine Registrierung ist nicht möglich.

Hinweise auf Fehler, unklare Formulierungen oder fehlende Themen sind
ausdrücklich willkommen und können an [E-Mail-Adresse oder „die
jeweilige Lehrkraft“] gerichtet werden.

=== Verbindlichkeit der Inhalte ===

Die Inhalte dieses Wikis werden mit Sorgfalt erstellt, erheben aber
keinen Anspruch auf Vollständigkeit. Verbindlich für Unterricht und
Prüfungen sind ausschließlich die im Unterricht behandelten Inhalte
sowie die geltenden Lehrpläne und Prüfungsordnungen.

=== Nutzung der Inhalte ===

Die Inhalte dürfen von Schülerinnen, Schülern und Lehrkräften der Schule
zu Unterrichts- und Lernzwecken frei genutzt werden. Eine darüber
hinausgehende Verwendung, insbesondere eine Veröffentlichung oder
kommerzielle Nutzung, bedarf der vorherigen Zustimmung.

=== Technischer Hinweis ===

Dieses Wiki basiert auf der freien Software
[https://www.mediawiki.org MediaWiki].

=== Rechtliche Hinweise ===

* [[Flbkwiki:Impressum|Impressum und Haftungsausschluss]]
* [[Flbkwiki:Datenschutz|Datenschutzerklärung]]

Flbkwiki:Datenschutz

Flbkwikiadmin — Sat, 12 Sep 2026 11:53:14 GMT

Die Seite wurde neu angelegt: „== Datenschutzerklärung == === 1. Verantwortlicher === Verantwortlich für die Datenverarbeitung auf dieser Website im Sinne der Datenschutz-Grundverordnung (DSGVO) ist: Friedrich-List-Berufskolleg Hamm<br /> Vorheider Weg 14<br /> 59067 Hamm Telefon: 02381 91492-0<br /> E-Mail: info@bkfl.schulen-hamm.de<br /> Website: [https://www.flbk-hamm.de www.flbk-hamm.de] vertreten durch die Schulleitung. === 2. Zweck und Rechtsgrundlage der Verarbeitung ===…“

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== Datenschutzerklärung ==

=== 1. Verantwortlicher ===

Verantwortlich für die Datenverarbeitung auf dieser Website im Sinne der
Datenschutz-Grundverordnung (DSGVO) ist:

Friedrich-List-Berufskolleg Hamm<br />
Vorheider Weg 14<br />
59067 Hamm

Telefon: 02381 91492-0<br />
E-Mail: info@bkfl.schulen-hamm.de<br />
Website: [https://www.flbk-hamm.de www.flbk-hamm.de]
vertreten durch die Schulleitung.

=== 2. Zweck und Rechtsgrundlage der Verarbeitung ===

Dieses Wiki dient ausschließlich der Bereitstellung von Unterrichts- und
Lernmaterial für Schülerinnen, Schüler und Lehrkräfte des
Friedrich-List-Berufskollegs Hamm.

Rechtsgrundlage der Verarbeitung ist Art. 6 Abs. 1 lit. e DSGVO
(Wahrnehmung einer Aufgabe im öffentlichen Interesse) in Verbindung mit
den einschlägigen Vorschriften des Schulgesetzes NRW und des
Datenschutzgesetzes NRW.

=== 3. Server-Logdateien ===

Beim Aufruf dieser Website werden durch den Webserver automatisch
Informationen erfasst und in sogenannten Logdateien gespeichert:

* IP-Adresse des zugreifenden Geräts
* Datum und Uhrzeit des Zugriffs
* Name und URL der abgerufenen Datei
* verwendeter Browser und ggf. das Betriebssystem
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Diese Daten sind technisch erforderlich, um die Website auszuliefern,
ihre Stabilität und Sicherheit zu gewährleisten und Angriffsversuche zu
erkennen. Eine Zusammenführung dieser Daten mit anderen Datenquellen
oder eine Auswertung zu Zwecken der Analyse des Nutzerverhaltens findet
nicht statt.

Die Logdateien werden nach spätestens [Anzahl] Tagen automatisch
gelöscht.

=== 4. Keine Registrierung, keine Konten für Schülerinnen und Schüler ===

Für das Lesen der Inhalte ist keine Anmeldung erforderlich. Eine
Registrierung durch Besucherinnen und Besucher ist technisch nicht
möglich. Benutzerkonten bestehen ausschließlich für redaktionell
tätige Lehrkräfte und werden durch die Administration angelegt.

Bei angemeldeten Benutzerinnen und Benutzern werden Benutzername,
E-Mail-Adresse (sofern angegeben) sowie die vorgenommenen Bearbeitungen
gespeichert. Bearbeitungen sind in der Versionsgeschichte der jeweiligen
Seite dauerhaft nachvollziehbar.

=== 5. Cookies ===

Diese Website setzt keine Cookies zu Analyse-, Werbe- oder
Tracking-Zwecken ein.

Beim Anmeldevorgang angemeldeter Benutzerinnen und Benutzer werden
technisch notwendige Sitzungs-Cookies gesetzt, die für die
Aufrechterhaltung der Anmeldung erforderlich sind. Diese werden nach
Ende der Sitzung bzw. nach Abmeldung gelöscht.

=== 6. Keine externen Dienste, keine Drittanbieter-Inhalte ===

Sämtliche für die Darstellung erforderlichen Komponenten – einschließlich
der Bibliotheken zur Darstellung mathematischer Formeln und interaktiver
Grafiken – werden ausschließlich vom eigenen Server ausgeliefert. Es
werden keine Inhalte von externen Content-Delivery-Netzwerken nachgeladen.
Beim Aufruf dieser Website werden daher keine Verbindungen zu
Drittanbietern hergestellt.

Es kommen keine Analyse-, Tracking- oder Reichweitenmessungsdienste und
keine Social-Media-Plugins zum Einsatz.

=== 7. Verschlüsselung ===

Diese Website wird ausschließlich verschlüsselt über HTTPS ausgeliefert,
um die Übertragung der Daten gegen Mitlesen durch Dritte zu schützen.

=== 8. Externe Links ===

Dieses Wiki enthält Links zu externen Websites. Beim Anklicken eines
solchen Links verlassen Sie diese Website; für die Datenverarbeitung auf
den Zielseiten ist ausschließlich der jeweilige Anbieter verantwortlich.
Es wird empfohlen, die dortigen Datenschutzhinweise zu beachten.

=== 9. Auftragsverarbeitung ===

Der technische Betrieb dieser Website erfolgt bei [Name des
Hosting-Anbieters]. Mit dem Anbieter besteht ein Vertrag zur
Auftragsverarbeitung gemäß Art. 28 DSGVO.

Datensicherungen werden innerhalb der schulischen Infrastruktur
gespeichert.

=== 10. Ihre Rechte ===

Sie haben gegenüber dem Verantwortlichen die folgenden Rechte
hinsichtlich der Sie betreffenden personenbezogenen Daten:

* Recht auf Auskunft (Art. 15 DSGVO)
* Recht auf Berichtigung (Art. 16 DSGVO)
* Recht auf Löschung (Art. 17 DSGVO)
* Recht auf Einschränkung der Verarbeitung (Art. 18 DSGVO)
* Recht auf Widerspruch gegen die Verarbeitung (Art. 21 DSGVO)
* Recht auf Datenübertragbarkeit (Art. 20 DSGVO)

Zur Ausübung dieser Rechte wenden Sie sich bitte an die oben genannten
Kontaktdaten.

=== 11. Beschwerderecht bei der Aufsichtsbehörde ===

Unabhängig davon steht Ihnen ein Beschwerderecht bei einer
Datenschutz-Aufsichtsbehörde zu. Zuständig ist:

Landesbeauftragte für Datenschutz und Informationsfreiheit
Nordrhein-Westfalen<br />
[Anschrift]<br />
[Website]

=== 12. Änderungen dieser Datenschutzerklärung ===

Diese Datenschutzerklärung wird angepasst, sobald Änderungen an der
Website oder an den rechtlichen Rahmenbedingungen dies erforderlich
machen.

Flbkwiki:Impressum

Flbkwikiadmin — Sat, 12 Sep 2026 11:51:28 GMT

Die Seite wurde neu angelegt: „== Impressum == Angaben gemäß § 5 Digitale-Dienste-Gesetz (DDG) === Anbieter === Friedrich-List-Berufskolleg Hamm<br /> Vorheider Weg 14<br /> 59067 Hamm Telefon: 02381 91492-0<br /> E-Mail: info@bkfl.schulen-hamm.de<br /> Website: [https://www.flbk-hamm.de www.flbk-hamm.de] === Vertretungsberechtigung === Das Friedrich-List-Berufskolleg Hamm ist eine öffentliche Schule in der Trägerschaft der Stadt Hamm und als solche eine nicht rechtsfähige…“

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== Impressum ==

Angaben gemäß § 5 Digitale-Dienste-Gesetz (DDG)

=== Anbieter ===

Friedrich-List-Berufskolleg Hamm<br />
Vorheider Weg 14<br />
59067 Hamm

Telefon: 02381 91492-0<br />
E-Mail: info@bkfl.schulen-hamm.de<br />
Website: [https://www.flbk-hamm.de www.flbk-hamm.de]

=== Vertretungsberechtigung ===

Das Friedrich-List-Berufskolleg Hamm ist eine öffentliche Schule in der
Trägerschaft der Stadt Hamm und als solche eine nicht rechtsfähige
öffentliche Anstalt.

Vertreten durch: Schulleiter/in

=== Schulträger ===

Stadt Hamm

=== Zuständige Schulaufsichtsbehörde ===

Bezirksregierung Arnsberg

== Haftungsausschluss ==

=== Haftung für Inhalte ===

Die Inhalte dieses Wikis wurden mit größtmöglicher Sorgfalt für den
Unterrichtsgebrauch erstellt. Für die Richtigkeit, Vollständigkeit und
Aktualität der Inhalte kann jedoch keine Gewähr übernommen werden.

Die hier bereitgestellten Materialien dienen der Unterstützung des
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Prüfungsordnungen. Verbindlich sind ausschließlich die im Unterricht
bekannt gegebenen Inhalte und Regelungen.

=== Haftung für Links ===

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MediaWiki:Disclaimers

Flbkwikiadmin — Sat, 12 Sep 2026 11:46:13 GMT

Die Seite wurde neu angelegt: „Impressum & Haftungsausschluss“

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Impressum & Haftungsausschluss

Stapel

Flbkwikiadmin — Fri, 11 Sep 2026 06:59:16 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 11. September 2026, 08:59 Uhr
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	== Einführung ==		== Einführung ==
	In der Informatik bezeichnet ein '''Stapelspeicher''' oder '''Kellerspeicher''' (kurz ''Stapel'' oder ''Keller'', häufig auch mit dem englischen Fachbegriff '''Stack''' bezeichnet) eine fundamentale, dynamische Datenstruktur. Sie dient der temporären Zwischenspeicherung von Datenobjekten in einer streng definierten Reihenfolge und ist ein zentraler Bestandteil der objektorientierten Anwendungsentwicklung~~[cite: 3]~~.		In der Informatik bezeichnet ein '''Stapelspeicher''' oder '''Kellerspeicher''' (kurz ''Stapel'' oder ''Keller'', häufig auch mit dem englischen Fachbegriff '''Stack''' bezeichnet) eine fundamentale, dynamische Datenstruktur. Sie dient der temporären Zwischenspeicherung von Datenobjekten in einer streng definierten Reihenfolge und ist ein zentraler Bestandteil der objektorientierten Anwendungsentwicklung.

	Objekte der abstrakten Datenstruktur (ADT) <code>Stack</code> verwalten beliebige Elemente nach dem '''LIFO-Prinzip''' (''Last-In-First-Out''). Das bedeutet: Das Element, welches als letztes auf den Stapel gelegt wurde, wird als erstes wieder entnommen.		Objekte der abstrakten Datenstruktur (ADT) <code>Stack</code> verwalten beliebige Elemente nach dem '''LIFO-Prinzip''' (''Last-In-First-Out''). Das bedeutet: Das Element, welches als letztes auf den Stapel gelegt wurde, wird als erstes wieder entnommen.

Dynamische Datenstruktur

Flbkwikiadmin — Mon, 07 Sep 2026 11:59:26 GMT

Änderungen zeigen

Mehrschichten Architektur

Flbkwikiadmin — Mon, 07 Sep 2026 06:52:31 GMT

Die Seite wurde neu angelegt: „== Einführung == Die '''Schichtenarchitektur''' (auch ''Schichtenmodell'' oder ''Schichtenmuster'') ist ein grundlegendes und häufig angewandtes Strukturierungsprinzip für die Architektur von Softwaresystemen. Dabei werden einzelne Aspekte des Softwaresystems konzeptionell einer spezifischen Schicht (engl. ''tier'' oder ''layer'') zugeordnet. Ein zentrales Prinzip dieses Modells ist die '''unidirektionale Abhängigkeit''': Eine höhere Schicht greift…“

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== Einführung ==
Die '''Schichtenarchitektur''' (auch ''Schichtenmodell'' oder ''Schichtenmuster'') ist ein grundlegendes und häufig angewandtes Strukturierungsprinzip für die Architektur von Softwaresystemen. Dabei werden einzelne Aspekte des Softwaresystems konzeptionell einer spezifischen Schicht (engl. ''tier'' oder ''layer'') zugeordnet.

Ein zentrales Prinzip dieses Modells ist die '''unidirektionale Abhängigkeit''': Eine höhere Schicht greift immer nur auf die Dienste der direkt darunterliegenden Schicht zu. Die niedrigere Schicht fungiert somit als Dienstanbieter (Server) für die höhere Schicht (Client). Die den Schichten zugeordneten Aspekte können je nach Art des Systems oder Detaillierungsgrad der Betrachtung beispielsweise Funktionalitäten, Hard- und Software-Komponenten oder einzelne Klassen sein.

Ziel der Schichtenarchitektur ist die Entkopplung von Systemkomponenten (''Separation of Concerns''), was die Wartbarkeit, Austauschbarkeit und Erweiterbarkeit von Software erheblich verbessert.

== Zwei-Schichten-Architektur ==
Für einen relativ groben Detaillierungsgrad lässt sich beispielsweise die klassische [[Client-Server-Architektur]] als Zwei-Schichten-Architektur (''Two-Tier Architecture'') beschreiben. Ein Client nutzt dabei die Dienste eines Servers.

'''Beispiel aus der Netzwerktechnik:'''
In einem lokalen Netzwerk (LAN) werden Arbeitsplatzrechner (Clients) genutzt, um Daten einzugeben oder abzufragen. Diese Rechner speichern ihre Daten nicht lokal, sondern auf einem zentralen Server. Der Server bietet das Speichern und Abrufen der Daten als Dienst an, greift aber von sich aus nicht aktiv auf die Clients zu. Die Clients hingegen initiieren die Kommunikation und nutzen den Dienst des Servers.

Eine Client-Server-Architektur muss jedoch nicht zwingend über unterschiedliche physische Rechner (Hardware) realisiert werden. Vielmehr kann der Client auch als reines Software-Modul verstanden werden, das auf ein zweites Software-Modul – beispielsweise ein lokales [[Datenbankmanagementsystem]] (DBMS) – auf demselben Rechner innerhalb derselben Anwendung zugreift.

== Drei-Schichten-Architektur ==
Eine dreischichtige Architektur (''Three-Tier Architecture'') erlaubt eine deutlich detailliertere und professionellere Strukturierung eines Softwaresystems. Im Gegensatz zur zweischichtigen Architektur existiert hier eine zusätzliche vermittelnde Schicht, die sogenannte Logikschicht. Dies verhindert, dass die Benutzeroberfläche direkt mit der Datenbank kommuniziert.

Eine typische Drei-Schichten-Architektur besteht aus den folgenden drei Schichten:

* '''Präsentationsschicht (Presentation Layer):'''
** Sie ist ausschließlich für die grafische Darstellung der Daten und die Erfassung von Benutzereingaben (GUI) verantwortlich.
** Sie enthält keine Anwendungslogik. Realisiert wird diese Schicht in der Praxis beispielsweise durch Frameworks wie Java-Swing, JavaFX oder durch HTML/CSS in Webanwendungen.
* '''Logikschicht (Business Logic Layer / Application Layer):'''
** Sie bildet das Herzstück der Anwendung und beinhaltet alle Geschäftsobjekte sowie die automatisierten Prozesse zur Datenverarbeitung.
** Sie nimmt die Eingaben der Präsentationsschicht entgegen, verarbeitet diese nach definierten Geschäftsregeln und leitet sie an die Datenhaltung weiter. Realisiert wird sie in der Regel durch [[Objektorientierte Programmierung|objektorientierte Programmiersprachen]] wie Java oder C#.
* '''Datenhaltungsschicht (Data Layer):'''
** Diese Schicht ist isoliert für das dauerhafte Speichern (Persistenz), Ändern und Laden von Daten verantwortlich.
** Für rudimentäre Anwendungen kann das Speichern in einfachen Text- oder XML-Dateien auf der Festplatte erfolgen. Für professionelle und komplexe Anwendungen wird standardmäßig der Einsatz eines [[Datenbankmanagementsystem|Datenbankmanagementsystems]] (z. B. MySQL, PostgreSQL) vorausgesetzt.

== Fazit und architektonische Bedeutung ==
Die Drei-Schichten-Architektur lässt sich systematisch innerhalb des Software-Engineerings umsetzen. Software-Module werden strikt für die Präsentation, die Anwendungslogik und die dauerhafte Speicherung von Daten vorgesehen und gemäß der Schichteneinteilung voneinander entkoppelt.

[[Datei:DBMS-Schichten.png|mini]]
Ändert sich beispielsweise das Datenbanksystem (Datenhaltungsschicht), müssen die Präsentations- und Logikschicht im Idealfall nicht angepasst werden. Eine solche Drei-Schichten-Architektur gilt in der professionellen Anwendungsentwicklung üblicherweise als das Mindestmaß architektonischer Strukturierung, sofern keine zwingenden Gründe (z. B. bei hochkomplexen Microservices) für andere Architekturentscheidungen vorliegen.

[[Kategorie:Modellierung]]
[[Kategorie:AHR I Informatik LK]]
[[Kategorie:FI I SDM]]

Liste

Flbkwikiadmin — Fri, 04 Sep 2026 08:48:02 GMT

Die Seite wurde neu angelegt: „== Einführung == In der Informatik ist die '''verkettete Liste''' (englisch ''Linked List'') oder kurz '''Liste''' eine fundamentale dynamische Datenstruktur. Sie dient der sequenziellen Speicherung von logisch zusammengehörigen, aber physisch im Speicher verstreuten Datenobjekten[cite: 3]. Im Gegensatz zu statischen Datenstrukturen (wie dem Array) müssen die einzelnen Elemente einer Liste im Arbeitsspeicher nicht direkt hintereinanderliegen. Die log…“

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== Einführung ==
In der Informatik ist die '''verkettete Liste''' (englisch ''Linked List'') oder kurz '''Liste''' eine fundamentale dynamische Datenstruktur. Sie dient der sequenziellen Speicherung von logisch zusammengehörigen, aber physisch im Speicher verstreuten Datenobjekten[cite: 3].

Im Gegensatz zu statischen Datenstrukturen (wie dem Array) müssen die einzelnen Elemente einer Liste im Arbeitsspeicher nicht direkt hintereinanderliegen. Die logische Reihenfolge wird stattdessen durch '''Zeiger (Referenzen)''' realisiert, die von einem Listenelement zum nächsten weisen. Ein einzelnes Element der Liste wird als '''Knoten''' (englisch ''Node'') bezeichnet. Jeder Knoten kapselt die eigentlichen Nutzdaten (den Inhalt) und besitzt mindestens einen Zeiger auf seinen direkten Nachfolger. Man unterscheidet hierbei zwischen unidirektionalen (einfach verketteten) und bidirektionalen (doppelt verketteten) Listen.

Objekte der abstrakten Datenstruktur <code>List</code> verwalten beliebig viele, linear angeordnete Objekte. Das wesentliche Konzept der im nordrhein-westfälischen Abitur verwendeten Listenstruktur ist das '''aktuelle Objekt''' (''Current''): Auf höchstens ein Listenobjekt kann zu einem gegebenen Zeitpunkt direkt lesend oder schreibend zugegriffen werden.
Wenn eine Liste leer ist, der Durchlauf das Ende überschritten hat oder das aktuelle Objekt gelöscht wurde, ist die Referenz auf das aktuelle Objekt ungültig (<code>null</code>). Das Setzen des aktuellen Objekts erfolgt über definierte Navigationsmethoden.

=== Vorteile und Nachteile gegenüber einem Array ===
* '''Vorteil:''' Das Einfügen und Löschen von Elementen an der aktuellen Position ist in konstanter Zeit (<math>\mathcal{O}(1)</math>) möglich, da lediglich Zeiger umgebogen werden müssen. Es ist nicht notwendig, nachfolgende Elemente im Speicher zu verschieben. Zudem wächst die Liste dynamisch mit ihren Anforderungen (keine feste Größenbegrenzung).
* '''Nachteil:''' Die Liste verbraucht mehr Speicherplatz (Overhead durch die Speicherung der Referenzzeiger). Zudem ist kein direkter Indexzugriff möglich; um das <math>n</math>-te Element zu finden, muss die Liste von vorne durchlaufen werden.

== Visualisierung ==
Die nachfolgende Abbildung veranschaulicht eine einfach verkettete (unidirektionale) Liste. Das eigentliche Listen-Objekt (hier als Dreieck dargestellt) verwaltet den Zustand der Liste über zwei interne Zeiger: einen Referenzzeiger auf das allererste Element (''Startknoten'') und einen Referenzzeiger auf das aktuell fokussierte Element (''Aktueller Knoten'').

<html>
<svg width="700" height="350" viewBox="0 0 700 350" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="background-color: transparent; font-family: Arial, sans-serif;">

<text x="350" y="30" font-size="22" font-weight="bold" text-anchor="middle" fill="#222222">Liste mit unidirektionalen Knoten</text>


<defs>
<marker id="arrow-black" viewBox="0 0 10 10" refX="8" refY="5" markerWidth="6" markerHeight="6" orient="auto">
<path d="M 0 0 L 10 5 L 0 10 z" fill="#000000"/>
</marker>
</defs>


<polygon points="100,100 20,240 180,240" fill="#d0e0ff" stroke="#000000" stroke-width="1.5" />
<text x="100" y="200" font-size="14" text-anchor="middle" fill="#222222">Knoten start</text>
<text x="100" y="225" font-size="14" text-anchor="middle" fill="#222222">Knoten aktuell</text>


<rect x="260" y="150" width="90" height="70" fill="#b0c4de" stroke="#000000" stroke-width="1.5" />
<text x="305" y="175" font-size="14" text-anchor="middle" fill="#222222">Knoten A</text>
<line x1="260" y1="190" x2="350" y2="190" stroke="#000000" stroke-width="1" />
<text x="305" y="210" font-size="14" text-anchor="middle" fill="#222222">Zahl = 16</text>


<rect x="420" y="150" width="90" height="70" fill="#b0c4de" stroke="#000000" stroke-width="1.5" />
<text x="465" y="175" font-size="14" text-anchor="middle" fill="#222222">Knoten B</text>
<line x1="420" y1="190" x2="510" y2="190" stroke="#000000" stroke-width="1" />
<text x="465" y="210" font-size="14" text-anchor="middle" fill="#222222">Zahl = 5</text>


<rect x="580" y="150" width="90" height="70" fill="#b0c4de" stroke="#000000" stroke-width="1.5" />
<text x="625" y="175" font-size="14" text-anchor="middle" fill="#222222">Knoten C</text>
<line x1="580" y1="190" x2="670" y2="190" stroke="#000000" stroke-width="1" />
<text x="625" y="210" font-size="14" text-anchor="middle" fill="#222222">Zahl = 42</text>


<line x1="350" y1="185" x2="410" y2="185" stroke="#000000" stroke-width="2" marker-end="url(#arrow-black)" />
<line x1="510" y1="185" x2="570" y2="185" stroke="#000000" stroke-width="2" marker-end="url(#arrow-black)" />
<line x1="670" y1="185" x2="695" y2="185" stroke="#000000" stroke-width="2" marker-end="url(#arrow-black)" />


<line x1="100" y1="185" x2="250" y2="185" stroke="#000000" stroke-width="2" marker-end="url(#arrow-black)" />
<text x="180" y="165" font-size="13" font-weight="bold" text-anchor="middle" transform="rotate(-15, 180, 165)">Zeiger auf</text>
<text x="180" y="180" font-size="13" font-weight="bold" text-anchor="middle" transform="rotate(-15, 180, 180)">Startknoten</text>


<path d="M 120 220 Q 250 340 435 230" fill="none" stroke="#000000" stroke-width="2" marker-end="url(#arrow-black)" />
<text x="280" y="315" font-size="14" font-weight="bold" fill="#222222">Zeiger auf</text>
<text x="280" y="335" font-size="14" font-weight="bold" fill="#222222">aktuellen Knoten</text>


<g transform="translate(230, 60) rotate(25)">
<polygon points="10,0 30,0 30,50 40,50 20,70 0,50 10,50" fill="#99cc99" stroke="#000000" stroke-width="1" />
<text x="20" y="40" font-size="13" transform="rotate(-90, 20, 40)" text-anchor="start" fill="#222222">Startknoten</text>
</g>


<g transform="translate(390, 60) rotate(25)">
<polygon points="10,0 30,0 30,50 40,50 20,70 0,50 10,50" fill="#99cc99" stroke="#000000" stroke-width="1" />
<text x="20" y="40" font-size="13" transform="rotate(-90, 20, 40)" text-anchor="start" fill="#222222">aktueller Knoten</text>
</g>
</svg>
</html>

== Aufbau und Spezifikation (API) ==
Im Kontext der objektorientierten Anwendungsentwicklung und in den landesweiten Vorgaben für das Zentralabitur wird die Liste über eine klar definierte Schnittstelle abstrahiert. Eine normgerechte Klasse <code>List</code> muss über die folgenden Methoden und Konstruktoren verfügen:

=== Konstruktor ===
* <code>List()</code>
** Eine leere Liste wird erzeugt.

=== Navigations- und Prüfmethoden ===
* <code>boolean isEmpty()</code>
** Die Anfrage liefert den Wert <code>true</code>, wenn die Liste keine Objekte enthält, sonst liefert sie den Wert <code>false</code>.
* <code>boolean hasAccess()</code>
** Die Anfrage liefert den Wert <code>true</code>, wenn es ein aktuelles Objekt gibt, sonst liefert sie <code>false</code>.
* <code>void next()</code>
** Falls die Liste nicht leer ist, es ein aktuelles Objekt gibt und dieses nicht das letzte Objekt der Liste ist, wird das dem aktuellen Objekt folgende Objekt zum neuen aktuellen Objekt. Andernfalls gibt es nach Ausführung des Auftrags kein aktuelles Objekt mehr (<code>hasAccess()</code> liefert den Wert <code>false</code>).
* <code>void toFirst()</code>
** Falls die Liste nicht leer ist, wird das erste Objekt der Liste zum aktuellen Objekt. Ist die Liste leer, geschieht nichts.
* <code>void toLast()</code>
** Falls die Liste nicht leer ist, wird das letzte Objekt der Liste zum aktuellen Objekt. Ist die Liste leer, geschieht nichts.

=== Methoden zur Datenmanipulation ===
* <code>Object getObject()</code>
** Falls es ein aktuelles Objekt gibt (<code>hasAccess() == true</code>), wird dieses zurückgegeben. Andernfalls gibt die Anfrage den Wert <code>null</code> zurück.
* <code>void setObject(Object pObject)</code>
** Falls es ein aktuelles Objekt gibt und <code>pObject</code> ungleich <code>null</code> ist, wird das aktuelle Objekt durch <code>pObject</code> ersetzt. Sonst bleibt die Liste unverändert.
* <code>void append(Object pObject)</code>
** Ein neues Objekt <code>pObject</code> wird am Ende der Liste eingefügt. Das aktuelle Objekt bleibt unverändert. Wenn die Liste leer ist, wird das Objekt in die Liste eingefügt und es gibt weiterhin kein aktuelles Objekt. Falls <code>pObject</code> gleich <code>null</code> ist, bleibt die Liste unverändert.
* <code>void insert(Object pObject)</code>
** Falls es ein aktuelles Objekt gibt, wird ein neues Objekt '''vor''' dem aktuellen Objekt in die Liste eingefügt. Das aktuelle Objekt bleibt unverändert. Falls die Liste leer ist, wird <code>pObject</code> in die Liste eingefügt und es gibt weiterhin kein aktuelles Objekt. Falls es kein aktuelles Objekt gibt und die Liste nicht leer ist, oder <code>pObject</code> gleich <code>null</code> ist, bleibt die Liste unverändert.
* <code>void concat(List pList)</code>
** Die Liste <code>pList</code> wird an die aufrufende Liste angehängt. Anschließend wird <code>pList</code> zu einer leeren Liste. Das aktuelle Objekt bleibt unverändert. Falls <code>pList</code> <code>null</code> oder bereits leer ist, bleibt die Liste unverändert.
* <code>void remove()</code>
** Falls es ein aktuelles Objekt gibt, wird dieses gelöscht und das Objekt '''hinter''' dem gelöschten Objekt wird zum neuen aktuellen Objekt. Wird das letzte Objekt der Liste gelöscht, gibt es danach kein aktuelles Objekt mehr. Wenn die Liste leer ist oder es kein aktuelles Objekt gibt, bleibt die Liste unverändert.

== Laufzeitanalyse (Komplexität) ==
Im Zuge der Softwareentwicklung ist die Auswahl der richtigen Datenstruktur hinsichtlich ihrer Effizienz kritisch[cite: 4]. Bei einer idealen, objektorientierten Implementierung einer Liste (mit Referenzen auf den ersten Knoten, den letzten Knoten und den aktuellen Knoten) ergeben sich gemäß der [[Landau-Symbole|Landau-Notation]] folgende Laufzeitkomplexitäten:

{| class="wikitable" style="text-align:center;"
|-
! Operation !! 1. Best-Case !! 2. Average-Case !! 3. Worst-Case
|-
| <code>append(Object pObject)</code> || <math>\mathcal{O}(1)</math> || <math>\mathcal{O}(1)</math> || <math>\mathcal{O}(1)</math>
|-
| <code>insert(Object pObject)</code> || <math>\mathcal{O}(1)</math> || <math>\mathcal{O}(n)</math> || <math>\mathcal{O}(n)</math>
|-
| <code>remove()</code> || <math>\mathcal{O}(1)</math> || <math>\mathcal{O}(n)</math> || <math>\mathcal{O}(n)</math>
|-
| Iteration (von vorne bis <code>n</code>) || <math>\mathcal{O}(1)</math> || <math>\mathcal{O}(n)</math> || <math>\mathcal{O}(n)</math>
|}

''Erläuterung:'' Da in einer einfach verketteten Liste nur vorwärts navigiert werden kann, erfordern <code>insert()</code> und <code>remove()</code> das Anpassen der Zeiger des Vorgängerknotens. Um den Vorgänger des aktuellen Knotens zu finden, muss die Liste im Average- und Worst-Case von vorne durchlaufen werden.

== Implementierungsbeispiel (Java) ==
Nachfolgend ist das prinzipielle Grundgerüst einer Listen-Implementierung auf Basis einer Knotenklasse (<code>ListNode</code>) dargestellt, wie es im Leistungskurs oder der Fachinformatik-Ausbildung entwickelt wird, um dynamische Datenstrukturen und das Kapselungsprinzip informationstechnisch zu fundieren[cite: 3].

<syntaxhighlight lang="java">
public class List {

// Innere Knoten-Klasse
private class ListNode {
Object content;
ListNode nextNode;

public ListNode(Object pContent) {
content = pContent;
nextNode = null;
}
}

// Zeiger auf wesentliche Elemente der Liste
private ListNode first;
private ListNode last;
private ListNode current;

/**
* Konstruktor
*/
public List() {
first = null;
last = null;
current = null;
}

public boolean isEmpty() {
return first == null;
}

public boolean hasAccess() {
return current != null;
}

public void next() {
if (this.hasAccess()) {
current = current.nextNode;
}
}

public void append(Object pObject) {
if (pObject != null) {
ListNode newNode = new ListNode(pObject);
if (this.isEmpty()) {
first = newNode;
last = newNode;
} else {
last.nextNode = newNode;
last = newNode;
}
}
}

public Object getObject() {
if (this.hasAccess()) {
return current.content;
}
return null;
}

// ... weitere Methoden (insert, remove, toFirst, etc.)
}
</syntaxhighlight>

[[Kategorie:Programmierung]]
[[Kategorie:AHR I Informatik LK]]
[[Kategorie:FI I SDM]]

Stapel

Flbkwikiadmin — Fri, 04 Sep 2026 07:41:28 GMT

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Keller

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Stapel

Flbkwikiadmin — Fri, 04 Sep 2026 07:39:25 GMT

Die Seite wurde neu angelegt: „== Einführung == In der Informatik bezeichnet ein '''Stapelspeicher''' oder '''Kellerspeicher''' (kurz ''Stapel'' oder ''Keller'', häufig auch mit dem englischen Fachbegriff '''Stack''' bezeichnet) eine fundamentale, dynamische Datenstruktur[cite: 3]. Sie dient der Zwischenspeicherung von Datenobjekten in einer strikten Reihenfolge. Objekte der abstrakten Datenstruktur <code>Stack</code> verwalten beliebige Elemente nach dem '''LIFO-Prinzip''' (''Last-…“

Neue Seite

== Einführung ==
In der Informatik bezeichnet ein '''Stapelspeicher''' oder '''Kellerspeicher''' (kurz ''Stapel'' oder ''Keller'', häufig auch mit dem englischen Fachbegriff '''Stack''' bezeichnet) eine fundamentale, dynamische Datenstruktur[cite: 3]. Sie dient der Zwischenspeicherung von Datenobjekten in einer strikten Reihenfolge.

Objekte der abstrakten Datenstruktur <code>Stack</code> verwalten beliebige Elemente nach dem '''LIFO-Prinzip''' (''Last-In-First-Out''). Das bedeutet: Das Element, welches als letztes auf den Stapel gelegt wurde, wird als erstes wieder entnommen.

[[Datei:image_90523e.png|mini|Veranschaulichung des LIFO-Prinzips mittels Push- und Pop-Operationen auf einem Stapel]]

'''Alltagsanalogie:'''
Ein Kellerspeicher lässt sich anschaulich mit einem Stapel von Umzugskisten vergleichen. Es kann immer nur eine neue Kiste oben auf den Stapel gepackt werden (dies entspricht der Operation <code>push</code>). Ebenso kann immer nur die oberste Kiste heruntergenommen werden (entspricht der Operation <code>pop</code>). Der lesende oder schreibende Zugriff ist im Regelfall streng auf das oberste Element des Stapels beschränkt. Ein Hinzufügen oder Entfernen einer Kiste weiter unten im Stapel ist strukturell nicht möglich.

== Aufbau und Spezifikation (API) ==
Im Kontext der objektorientierten Programmierung wird die abstrakte Datenstruktur formal über eine wohldefinierte Schnittstelle abgebildet[cite: 3]. Ein Stapel verfügt über die folgenden Methoden und Konstruktoren:

=== Konstruktor ===
* <code>Stack()</code>
** Ein neuer, leerer Stapel wird erzeugt.

=== Methoden ===
* <code>boolean isEmpty()</code>
** Die Anfrage liefert den Wert <code>true</code>, wenn der Stapel keine Objekte enthält. Andernfalls liefert sie den Wert <code>false</code>.
* <code>void push(Object pObject)</code>
** Das Objekt <code>pObject</code> wird oben auf den Stapel gelegt. Falls <code>pObject</code> den Wert <code>null</code> hat, bleibt der Stapel unverändert.
* <code>void pop()</code>
** Das zuletzt eingefügte (oberste) Objekt wird von dem Stapel entfernt. Falls der Stapel bereits leer ist, bleibt er unverändert.
* <code>Object top()</code>
** Die Anfrage liefert das oberste Stapelobjekt zurück, ohne es zu entfernen. Der Stapel bleibt unverändert. Falls der Stapel leer ist, wird <code>null</code> zurückgegeben.

== Laufzeitanalyse (Komplexität) ==
Eine effiziente Implementierung des Stacks (beispielsweise über eine einfach verkettete Liste, bei der stets vorne am Kopf eingefügt und gelöscht wird) garantiert hochperformante Zugriffszeiten. Dies ist für die informationstechnische Verarbeitung von Datenstrukturen in der beruflichen Praxis essenziell[cite: 4]. Da ausschließlich auf das oberste Element zugegriffen wird, müssen keine iterativen Suchvorgänge durchgeführt oder nachfolgende Elemente im Speicher verschoben werden. Es ergibt sich gemäß der [[Landau-Symbole|Landau-Notation]] folgende Laufzeitkomplexität:

{| class="wikitable"
|-
! Operation !! 1. Best-Case !! 2. Average-Case !! 3. Worst-Case
|-
| <code>push(Object pObject)</code> || <math>\mathcal{O}(1)</math> || <math>\mathcal{O}(1)</math> || <math>\mathcal{O}(1)</math>
|-
| <code>pop()</code> || <math>\mathcal{O}(1)</math> || <math>\mathcal{O}(1)</math> || <math>\mathcal{O}(1)</math>
|-
| <code>top()</code> || <math>\mathcal{O}(1)</math> || <math>\mathcal{O}(1)</math> || <math>\mathcal{O}(1)</math>
|-
| <code>isEmpty()</code> || <math>\mathcal{O}(1)</math> || <math>\mathcal{O}(1)</math> || <math>\mathcal{O}(1)</math>
|}

== Beispiel: Arbeitsweise der Stack-Operationen ==
Die Arbeitsweise und Veränderung des inneren Zustands eines Stacks lässt sich anhand einer sequenziellen Abfolge von Operationen veranschaulichen. In der folgenden Tabelle ist das jeweils oberste Element (Top) der Liste rechts angeordnet.

{| class="wikitable"
|-
! Schritt !! Operation !! Zustand des Stacks (Bottom -> Top) !! Erläuterung
|-
| 1. || <code>Stack()</code> || <code>[ ]</code> (leer) || Nach Aufruf der <code>Stack()</code>-Operation ist der Stack initialisiert, enthält aber noch keine Elemente.
|-
| 2. || <code>push(12)</code> || <code>[12]</code> || Nach Aufruf von <code>push(12)</code> enthält der Stack genau ein Element, nämlich die Zahl 12.
|-
| 3. || <code>push(8)</code> || <code>[12, 8]</code> || Nach Aufruf von <code>push(8)</code> sind zwei Elemente im Stack enthalten. Die 8 wurde zuletzt hinzugefügt, befindet sich also oben im Stack.
|-
| 4. || <code>pop()</code> || <code>[12]</code> || Wenn <code>pop()</code> aufgerufen wird, wird die 8 wieder entfernt – sie war die zuletzt hinzugefügte Zahl.
|-
| 5. || <code>push(15)</code> || <code>[12, 15]</code> || Nach <code>push(15)</code> besteht der Stack wieder aus zwei Elementen. Die 15 wurde zuletzt gepusht, also liegt sie oben auf dem Stack.
|-
| 6. || <code>push(16)</code> || <code>[12, 15, 16]</code> || Nach <code>push(16)</code> besteht der Stack aus drei Elementen. Wieder ist die zuletzt gepushte Zahl ganz oben im Stack.
|}

== Implementierungsbeispiel (Java) ==
Für das tiefergehende Verständnis im Leistungskurs oder der Fachinformatiker-Ausbildung ist nachfolgend eine klassische objektorientierte Implementierung des Stacks auf Basis einer einfach verketteten Liste (Knotenstruktur) dargestellt. Dies schult das exakte, strukturierte algorithmische Denken zur Lösung informationstechnischer Problemstellungen[cite: 3].

<syntaxhighlight lang="java">
public class Stack {

// Verweis auf das oberste Element des Stapels
private Node head;

// Innere Knoten-Klasse zur Kapselung der Daten
private class Node {
Object content;
Node nextNode;

public Node(Object pContent) {
content = pContent;
nextNode = null;
}
}

/**
* Konstruktor: Ein leerer Stapel wird erzeugt.
*/
public Stack() {
head = null;
}

/**
* Prüft, ob der Stapel leer ist.
*/
public boolean isEmpty() {
return head == null;
}

/**
* Legt ein neues Objekt oben auf den Stapel.
*/
public void push(Object pObject) {
if (pObject != null) {
Node newNode = new Node(pObject);
newNode.nextNode = head; // Das neue Element zeigt auf den bisherigen Kopf
head = newNode; // Der Kopf wird auf das neue Element gesetzt
}
}

/**
* Entfernt das oberste Objekt vom Stapel.
*/
public void pop() {
if (!this.isEmpty()) {
head = head.nextNode; // Der Kopf rutscht ein Element nach unten (das alte Top-Element wird vom Garbage Collector entfernt)
}
}

/**
* Liefert das oberste Objekt des Stapels.
*/
public Object top() {
if (this.isEmpty()) {
return null;
} else {
return head.content;
}
}
}
</syntaxhighlight>

[[Kategorie:Programmierung]]
[[Kategorie:AHR I Informatik LK]]
[[Kategorie:FI I SDM]]

Schlange

Flbkwikiadmin — Fri, 04 Sep 2026 07:26:10 GMT

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	== Laufzeitanalyse (Komplexität) ==		== Laufzeitanalyse (Komplexität) ==
	Warteschlangen lassen sich in der Praxis äußerst effizient über Arrays mit Ringpuffer-Logik oder über einfach verkettete Listen implementieren. Eine Zeigerstruktur, die stets den Anfang (Front) und das Ende (Tail) speichert, garantiert hochperformante Speicher- und Lesezugriffe. Für die oben genannten Methoden ergibt sich gemäß der [[~~Landau~~-~~Symbole~~\|~~Landau~~-Notation]] folgende Laufzeitkomplexität:		Warteschlangen lassen sich in der Praxis äußerst effizient über Arrays mit Ringpuffer-Logik oder über einfach verkettete Listen implementieren. Eine Zeigerstruktur, die stets den Anfang (Front) und das Ende (Tail) speichert, garantiert hochperformante Speicher- und Lesezugriffe. Für die oben genannten Methoden ergibt sich gemäß der [[O-Notation\|O-Notation]] folgende Laufzeitkomplexität:

	{\| class="wikitable"		{\| class="wikitable"

Schlange

Flbkwikiadmin — Fri, 04 Sep 2026 07:25:32 GMT

Die Seite wurde neu angelegt: „== Einführung == In der Informatik bezeichnet eine '''Warteschlange''' oder '''Schlange''' (englisch ''Queue'') eine grundlegende und häufig eingesetzte dynamische Datenstruktur. Sie dient der geordneten Zwischenspeicherung von Datenobjekten, bevor diese systematisch weiterverarbeitet werden. Warteschlangen verwalten beliebige Objekte nach dem strengen '''FIFO-Prinzip''' (''First-In-First-Out''). Das bedeutet: Das Element, welches zuerst in die Datens…“

Neue Seite

== Einführung ==
In der Informatik bezeichnet eine '''Warteschlange''' oder '''Schlange''' (englisch ''Queue'') eine grundlegende und häufig eingesetzte dynamische Datenstruktur. Sie dient der geordneten Zwischenspeicherung von Datenobjekten, bevor diese systematisch weiterverarbeitet werden.

Warteschlangen verwalten beliebige Objekte nach dem strengen '''FIFO-Prinzip''' (''First-In-First-Out''). Das bedeutet: Das Element, welches zuerst in die Datenstruktur eingefügt wurde, wird auch als erstes wieder entnommen.

'''Alltagsanalogie:'''
Man kann sich diese Datenstruktur wie eine Warteschlange von Kunden an einer Supermarktkasse vorstellen. Der Letzte, der sich in die Schlange stellt, wird am Kopfende (''Back'') als Letzter bedient. Umgekehrt wird derjenige, der sich als Erstes an die Spitze (''Front'') angestellt hat, als Erster bedient.

== Funktionsweise und Visualisierung ==
Die grundlegenden Operationen einer Warteschlange verändern ihren Zustand, indem Elemente eingefügt oder entnommen werden. In der Abbildung unten ist die Funktionsweise schematisch dargestellt:

* Mit <code>enter</code> (bzw. <code>enqueue</code>) wird ein neuer Wert (im Beispiel die Zahl <code>3</code>) am Ende der Schlange (''Back'') hinzugefügt.
* Mit <code>leave</code> (bzw. <code>dequeue</code>) wird das am längsten gespeicherte Element (im Beispiel <code>37</code>) an der Spitze der Schlange (''Front'') herausgenommen.
* Der einzige lesende Zugriff erfolgt über die Operation <code>front</code>. Diese liefert das erste gespeicherte Element der Queue (hier <code>37</code>), unter der Annahme, dass die entnehmende Operation noch nicht ausgeführt wurde.

<html>
<svg width="600" height="200" viewBox="0 0 600 200" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="background-color: transparent;">

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<text x="20" y="25" text-anchor="middle" font-family="Arial" font-weight="bold" font-size="16">3</text>
</g>
<path d="M 60 60 Q 60 100 130 100" fill="none" stroke="#8b0000" stroke-width="8" marker-end="url(#arrow-red)"/>
<text x="50" y="105" fill="#8b0000" font-family="Arial" font-size="14" font-weight="bold">enter</text>

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<text x="20" y="25" text-anchor="middle" font-family="Arial" font-weight="bold" font-size="16">37</text>
</g>
<path d="M 470 80 Q 470 40 505 40" fill="none" stroke="#8b0000" stroke-width="8" marker-end="url(#arrow-red)"/>
<text x="440" y="55" fill="#8b0000" font-family="Arial" font-size="14" font-weight="bold">leave</text>

<path d="M 490 180 L 490 135" fill="none" stroke="#006400" stroke-width="4" marker-end="url(#arrow-green)"/>
<text x="500" y="165" fill="#006400" font-family="Arial" font-size="14" font-weight="bold">front</text>
<defs>
<marker id="arrow-red" viewBox="0 0 10 10" refX="5" refY="5" markerWidth="6" markerHeight="6" orient="auto">
<path d="M 0 0 L 10 5 L 0 10 z" fill="#8b0000"/>
</marker>
<marker id="arrow-green" viewBox="0 0 10 10" refX="5" refY="5" markerWidth="6" markerHeight="6" orient="auto">
<path d="M 0 0 L 10 5 L 0 10 z" fill="#006400"/>
</marker>
</defs>
</svg>
</html>

Auch vertikal lässt sich das Konzept einer Queue anhand von Elementblöcken veranschaulichen. Hierbei rücken die Elemente wie auf einem Fließband weiter:

<html>
<svg width="500" height="200" viewBox="0 0 500 200" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="background-color: transparent;">

<g transform="translate(180, 80)">
<rect x="0" y="0" width="30" height="80" fill="#4d4dff" stroke="#000000" stroke-width="2"/>
<rect x="40" y="0" width="30" height="80" fill="#4d4dff" stroke="#000000" stroke-width="2"/>
<rect x="80" y="0" width="30" height="80" fill="#4d4dff" stroke="#000000" stroke-width="2"/>
<rect x="120" y="0" width="30" height="80" fill="#4d4dff" stroke="#000000" stroke-width="2"/>
<rect x="160" y="0" width="30" height="80" fill="#4d4dff" stroke="#000000" stroke-width="2"/>
<text x="15" y="-10" text-anchor="middle" font-family="Arial" font-size="16" font-weight="bold">Back</text>
<text x="175" y="-10" text-anchor="middle" font-family="Arial" font-size="16" font-weight="bold">Front</text>
</g>

<rect x="80" y="10" width="30" height="80" fill="#4d4dff" stroke="#000000" stroke-width="2"/>
<path d="M 95 90 Q 95 120 160 120" fill="none" stroke="#000000" stroke-width="2" marker-end="url(#arrow-black)"/>
<text x="150" y="145" text-anchor="end" font-family="Arial" font-size="18" font-weight="bold">Enqueue</text>

<path d="M 390 100 Q 430 100 445 130" fill="none" stroke="#000000" stroke-width="2" marker-end="url(#arrow-black)"/>
<text x="400" y="90" font-family="Arial" font-size="18" font-weight="bold">Dequeue</text>
<rect x="430" y="140" width="30" height="80" fill="#4d4dff" stroke="#000000" stroke-width="2"/>
<defs>
<marker id="arrow-black" viewBox="0 0 10 10" refX="5" refY="5" markerWidth="6" markerHeight="6" orient="auto">
<path d="M 0 0 L 10 5 L 0 10 z" fill="#000000"/>
</marker>
</defs>
</svg>
</html>

== Aufbau und Spezifikation (API) ==
Im Kontext der objektorientierten Programmierung wird die abstrakte Datenstruktur (ADT) formal über eine wohldefinierte Schnittstelle abgebildet. Eine <code>Queue</code> sollte über die folgenden Methoden und Konstruktoren verfügen:

=== Konstruktor ===
* <code>Queue()</code>
** Eine leere Schlange wird erzeugt. Der Zustand der initialisierten Schlange ist leer.

=== Methoden ===
* <code>boolean isEmpty()</code>
** Die Anfrage liefert den Wert <code>true</code>, wenn die Schlange keine Objekte enthält. Andernfalls liefert sie <code>false</code>.
* <code>void enqueue(Object pObject)</code>
** Das Objekt <code>pObject</code> wird an die Schlange (hinten) angehängt. Falls <code>pObject</code> gleich <code>null</code> ist, bleibt die Schlange unverändert.
* <code>void dequeue()</code>
** Das erste Objekt (vorne) wird aus der Schlange entfernt. Falls die Schlange bereits leer ist, wird sie nicht verändert.
* <code>Object front()</code>
** Die Anfrage liefert das erste Objekt der Schlange zurück, ohne dieses aus der Schlange zu entfernen (die Schlange bleibt unverändert). Falls die Schlange leer ist, wird <code>null</code> zurückgegeben.

== Laufzeitanalyse (Komplexität) ==
Warteschlangen lassen sich in der Praxis äußerst effizient über Arrays mit Ringpuffer-Logik oder über einfach verkettete Listen implementieren. Eine Zeigerstruktur, die stets den Anfang (Front) und das Ende (Tail) speichert, garantiert hochperformante Speicher- und Lesezugriffe. Für die oben genannten Methoden ergibt sich gemäß der [[Landau-Symbole|Landau-Notation]] folgende Laufzeitkomplexität:

{| class="wikitable"
|-
! Operation !! 1. Best-Case !! 2. Average-Case !! 3. Worst-Case
|-
| <code>enqueue(Object pObject)</code> || <math>\mathcal{O}(1)</math> || <math>\mathcal{O}(1)</math> || <math>\mathcal{O}(1)</math>
|-
| <code>dequeue()</code> || <math>\mathcal{O}(1)</math> || <math>\mathcal{O}(1)</math> || <math>\mathcal{O}(1)</math>
|-
| <code>front()</code> || <math>\mathcal{O}(1)</math> || <math>\mathcal{O}(1)</math> || <math>\mathcal{O}(1)</math>
|-
| <code>isEmpty()</code> || <math>\mathcal{O}(1)</math> || <math>\mathcal{O}(1)</math> || <math>\mathcal{O}(1)</math>
|}

== Implementierungsbeispiel (Java) ==
Die grundlegende Struktur einer objektorientierten Implementierung als Rumpf-Klasse orientiert sich exakt an den curricularen Vorgaben.

<syntaxhighlight lang="java">
public class Queue {

// Verweise auf den Anfang und das Ende der Queue
private Node head;
private Node tail;

// Innere Knoten-Klasse für verkettete Listenstruktur
private class Node {
Object content;
Node nextNode;

public Node(Object pContent) {
content = pContent;
nextNode = null;
}
}

/**
* Konstruktor: Eine leere Schlange wird erzeugt.
*/
public Queue() {
head = null;
tail = null;
}

/**
* Prüft, ob die Schlange leer ist.
*/
public boolean isEmpty() {
return head == null;
}

/**
* Fügt ein Objekt hinten an die Schlange an.
*/
public void enqueue(Object pObject) {
if (pObject != null) {
Node newNode = new Node(pObject);
if (this.isEmpty()) {
head = newNode;
tail = newNode;
} else {
tail.nextNode = newNode;
tail = newNode;
}
}
}

/**
* Entfernt das vorderste Element aus der Schlange.
*/
public void dequeue() {
if (!this.isEmpty()) {
head = head.nextNode;
if (this.isEmpty()) {
tail = null;
}
}
}

/**
* Gibt das vorderste Element zurück.
*/
public Object front() {
if (this.isEmpty()) {
return null;
} else {
return head.content;
}
}
}
</syntaxhighlight>

[[Kategorie:Programmierung]]
[[Kategorie:AHR_I_Informatik LK]]
[[Kategorie:FI I SDM]]

Dynamische Datenstruktur

Flbkwikiadmin — Fri, 04 Sep 2026 07:24:05 GMT

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	In einem Programm werden oft mehrere Objekte einer Klasse verwaltet. Diese müssen in Behältern organisiert werden. Ein Beispiel für einen solchen Behälter ist das [[Array]]. Da ein Array immer eine feste Länge hat, ist es für viele Zwecke allerdings zu unflexibel. Beispiele für dynamische Datenstrukturen sind:		In einem Programm werden oft mehrere Objekte einer Klasse verwaltet. Diese müssen in Behältern organisiert werden. Ein Beispiel für einen solchen Behälter ist das [[Array]]. Da ein Array immer eine feste Länge hat, ist es für viele Zwecke allerdings zu unflexibel. Beispiele für dynamische Datenstrukturen sind:

	[[~~Warteschlange (Datenstruktur)~~\|Schlange (Queue)]]		[[Schlange\|Schlange (Queue)]]

	[[~~Stapelspeicher~~\|Stapel (Stack)]]		[[Stapel\|Stapel (Stack)]]

	[[Liste ~~(Datenstruktur)~~\|Liste (List)]]		[[Liste\|Liste (List)]]

	Der reservierte Arbeitsspeicher ist abhängig vom [[Datentyp]] der gespeicherten Objekte. Dynamische Datenstrukturen bieten Mechanismen, den reservierten Speicher mit jeder hinzugefügten Dateneinheit zu vergrößern. In manchen Situationen ist es erforderlich, eigene Strukturen zu entwerfen, die Objekte dynamisch verwalten.		Der reservierte Arbeitsspeicher ist abhängig vom [[Datentyp]] der gespeicherten Objekte. Dynamische Datenstrukturen bieten Mechanismen, den reservierten Speicher mit jeder hinzugefügten Dateneinheit zu vergrößern. In manchen Situationen ist es erforderlich, eigene Strukturen zu entwerfen, die Objekte dynamisch verwalten.

Excel-Funktion

Knoll — Fri, 28 Aug 2026 15:28:55 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 28. August 2026, 17:28 Uhr
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	== Erste, einfache Funktionen ==		== Erste, einfache Funktionen ==
	Erste, einfache Funktionen sind neben der Funktion [[Excel-Funktion_Summe\|SUMME]] auch die Funktionen MIN, MAX und MITTELWERT (siehe dazu die entsprechenden Verlinkungen).		Erste, einfache Funktionen sind neben der Funktion [[Excel-Funktion_Summe\|SUMME]] auch die Funktionen [[Excel-Funktion_MIN\|MIN]], [[Excel-Funktion_MAX\|MAX]] und [[Excel-Funktion_MITTELWERT\|MITTELWERT]] (siehe dazu die entsprechenden Verlinkungen).

Datei:Excel-Funktion MITTELWERT.PNG

Knoll — Fri, 28 Aug 2026 15:27:15 GMT

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Excel-Funktion MITTELWERT

Knoll — Fri, 28 Aug 2026 15:26:55 GMT

Die Seite wurde neu angelegt: „mini|Nutzung der Funktion MITTELWERT In der nebenstehenden Grafik wird die Verwendung der Funktion MITTELWERT verdeutlicht. Wenn Sie das arithmetische Mittel bestimmen möchten, können Sie die Funktion MITTELWERT verwenden. Diese addiert alle zu verwendenden Zahlen und teilt das Ergebnis durch die Anzahl der Zahlen. Ähnlich wie bei der Funktion SUMME schreiben Sie zunächst ein Gleichheitszeichen, dann den Namen…“

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[[Datei:Excel-Funktion MITTELWERT.PNG|mini|Nutzung der Funktion MITTELWERT]]

In der nebenstehenden Grafik wird die Verwendung der Funktion MITTELWERT verdeutlicht.

Wenn Sie das arithmetische Mittel bestimmen möchten, können Sie die Funktion MITTELWERT verwenden. Diese addiert alle zu verwendenden Zahlen und teilt das Ergebnis durch die Anzahl der Zahlen. Ähnlich wie bei der Funktion SUMME schreiben Sie zunächst ein Gleichheitszeichen, dann den Namen der Funktion MITTELWERT. Geben Sie dann in den Klammern die Zellen als Argumente an, aus denen Sie den Mittelwert bestimmen möchten. Sie können die Zellen (Pfeil 1) mit Semikolon (;) getrennt übergeben oder (Pfeil 2), falls Sie nebeneinander liegen, mit einem Doppelpunkt als Bereich übergeben. Das Ergebnis wird anschließend angezeigt (Pfeil 3).

[[Kategorie:Excel]]

Excel-Funktion MAX

Knoll — Fri, 28 Aug 2026 15:25:16 GMT

Die Seite wurde neu angelegt: „mini|Nutzung der Funktion MAX In der nebenstehenden Grafik wird die Verwendung der Funktion MAX verdeutlicht. Wenn Sie den größten Wert aus verschiedenen Werten heraussuchen möchten, können Sie die Funktion MAX verwenden. Ähnlich wie bei der Funktion SUMME schreiben Sie zunächst ein Gleichheitszeichen, dann den Namen der Funktion MAX. Geben Sie dann in den Klammern die Zellen als Argumente an, aus denen Sie den gr…“

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[[Datei:Excel-Funktion MAX.PNG|mini|Nutzung der Funktion MAX]]

In der nebenstehenden Grafik wird die Verwendung der Funktion MAX verdeutlicht.

Wenn Sie den größten Wert aus verschiedenen Werten heraussuchen möchten, können Sie die Funktion MAX verwenden. Ähnlich wie bei der Funktion SUMME schreiben Sie zunächst ein Gleichheitszeichen, dann den Namen der Funktion MAX. Geben Sie dann in den Klammern die Zellen als Argumente an, aus denen Sie den größten Wert heraussuchen möchten. Sie können die Zellen (Pfeil 1) mit Semikolon (;) getrennt übergeben oder (Pfeil 2), falls Sie nebeneinander liegen, mit einem Doppelpunkt als Bereich übergeben. Das Ergebnis wird anschließend angezeigt (Pfeil 3).

[[Kategorie:Excel]]

Datei:Excel-Funktion MAX.PNG

Knoll — Fri, 28 Aug 2026 15:25:07 GMT

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Excel-Funktion MIN

Knoll — Fri, 28 Aug 2026 15:21:21 GMT

Die Seite wurde neu angelegt: „mini|Nutzung der Funktion MIN In der nebenstehenden Grafik wird die Verwendung der Funktion MIN verdeutlicht. Wenn Sie den kleinsten Wert aus verschiedenen Werten heraussuchen möchten, können Sie die Funktion MIN verwenden. Ähnlich wie bei der Funktion SUMME schreiben Sie zunächst ein Gleichheitszeichen, dann den Namen der Funktion MIN. Geben Sie dann in den Klammern die Zellen als Argumente an, aus denen Sie den kle…“

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[[Datei:Excel-Funktion MIN.PNG|mini|Nutzung der Funktion MIN]]

In der nebenstehenden Grafik wird die Verwendung der Funktion MIN verdeutlicht.

Wenn Sie den kleinsten Wert aus verschiedenen Werten heraussuchen möchten, können Sie die Funktion MIN verwenden. Ähnlich wie bei der Funktion SUMME schreiben Sie zunächst ein Gleichheitszeichen, dann den Namen der Funktion MIN. Geben Sie dann in den Klammern die Zellen als Argumente an, aus denen Sie den kleinsten Wert heraussuchen möchten. Sie können die Zellen (Pfeil 1) mit Semikolon (;) getrennt übergeben oder (Pfeil 2), falls Sie nebeneinander liegen, mit einem Doppelpunkt als Bereich übergeben. Das Ergebnis wird anschließend angezeigt (Pfeil 3).

[[Kategorie:Excel]]

Datei:Excel-Funktion MIN.PNG

Knoll — Fri, 28 Aug 2026 15:20:43 GMT

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Excel-Funktion

Knoll — Fri, 28 Aug 2026 15:18:08 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 28. August 2026, 17:18 Uhr
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	[[Datei:BspFkt.png\|mini\|Nutzung der Funktion SUMME]]		[[Datei:BspFkt.png\|mini\|Nutzung der Funktion SUMME]]
	Einer Funktion können (in den meisten Fällen) Argumente übergeben werden. Damit sind Werte gemeint, die der Funktion übergeben werden und mit denen die Funktion dann eine bestimmte Berechnung o. Ä. durchführt, um anschließend ein Ergebnis zu liefern, das in der Zelle angezeigt wird.		Einer Funktion können (in den meisten Fällen) Argumente übergeben werden. Damit sind Werte gemeint, die der Funktion übergeben werden und mit denen die Funktion dann eine bestimmte Berechnung o. Ä. durchführt, um anschließend ein Ergebnis zu liefern, das in der Zelle angezeigt wird.
	Der Funktion SUMME werden beispielsweise verschiedene Zahlen bzw. Bezüge auf Zellen übergeben, die Funktion liefert anschließend als Ergebnis die Summe der entsprechenden Werte zurück.		Der Funktion [[Excel-Funktion_Summe\|SUMME]] werden beispielsweise verschiedene Zahlen bzw. Bezüge auf Zellen übergeben, die Funktion liefert anschließend als Ergebnis die Summe der entsprechenden Werte zurück.
	In der nebenstehenden Grafik wird der Aufruf verdeutlicht. Zunächst wird in der Zelle C5 ein '''Gleichheitszeichen''' geschrieben, anschließend folgt der '''Name der Funktion''' (hier: SUMME). Direkt dahinter folgen zwei '''Klammern'''. Innerhalb der Klammern folgen die '''Argumente'''. Im Beispiel werden die Zellen C2, C3 und C4 übergeben, die Funktion berechnet die Summe der enthaltenen Werte und liefert diese zurück. Verschiedene Argumente werden hierbei durch ein '''Semikolon''' getrennt.		In der nebenstehenden Grafik wird der Aufruf verdeutlicht. Zunächst wird in der Zelle C5 ein '''Gleichheitszeichen''' geschrieben, anschließend folgt der '''Name der Funktion''' (hier: SUMME). Direkt dahinter folgen zwei '''Klammern'''. Innerhalb der Klammern folgen die '''Argumente'''. Im Beispiel werden die Zellen C2, C3 und C4 übergeben, die Funktion berechnet die Summe der enthaltenen Werte und liefert diese zurück. Verschiedene Argumente werden hierbei durch ein '''Semikolon''' getrennt.

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	== Erste, einfache Funktionen ==		== Erste, einfache Funktionen ==
			Erste, einfache Funktionen sind neben der Funktion [[Excel-Funktion_Summe\|SUMME]] auch die Funktionen MIN, MAX und MITTELWERT (siehe dazu die entsprechenden Verlinkungen).

Excel-Funktion Summe

Knoll — Fri, 28 Aug 2026 15:13:10 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 28. August 2026, 17:13 Uhr
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	[[Datei:Excel-Funktion SUMME.PNG\|mini\|Nutzung der Funktion SUMME]]		[[Datei:Excel-Funktion SUMME.PNG\|mini\|Nutzung der Funktion SUMME]]

	~~Die nebenstehende~~ Grafik ~~verdeutlicht~~ die Verwendung der Funktion SUMME.		In der nebenstehenden Grafik wird die Verwendung der Funktion SUMME verdeutlicht.

	Wenn Sie (Pfeil 1) in einer Zelle, z. B. in der Zelle C5, die Inhalte der Zellen C2, C3 und C4 zusammenrechnen möchten, können Sie auch die Funktion SUMME verwenden. Schreiben Sie hierfür (Pfeil 2) zunächst ein Gleichheitszeichen (=) sowie den Namen der Funktion (SUMME). Danach geben Sie innerhalb der Klammern die Zellen als Argumente an, deren Inhalt Sie addieren möchten. Sie können auch Werte übergeben. Trennen Sie die einzelnen Argumente mit einem Semikolon (;). Falls alle Zellen nebeneinander liegen, können Sie diese auch (Pfeil 3) mit einem Doppelpunkt (:) als Bereich übergeben. Das Ergebnis wird anschließend (Pfeil 4) dargestellt.		Wenn Sie (Pfeil 1) in einer Zelle, z. B. in der Zelle C5, die Inhalte der Zellen C2, C3 und C4 zusammenrechnen möchten, können Sie auch die Funktion SUMME verwenden. Schreiben Sie hierfür (Pfeil 2) zunächst ein Gleichheitszeichen (=) sowie den Namen der Funktion (SUMME). Danach geben Sie innerhalb der Klammern die Zellen als Argumente an, deren Inhalt Sie addieren möchten. Sie können auch Werte übergeben. Trennen Sie die einzelnen Argumente mit einem Semikolon (;). Falls alle Zellen nebeneinander liegen, können Sie diese auch (Pfeil 3) mit einem Doppelpunkt (:) als Bereich übergeben. Das Ergebnis wird anschließend (Pfeil 4) dargestellt.


			[[Kategorie:Excel]]

Excel-Funktion Summe

Knoll — Fri, 28 Aug 2026 15:12:12 GMT

Die Seite wurde neu angelegt: „mini|Nutzung der Funktion SUMME Die nebenstehende Grafik verdeutlicht die Verwendung der Funktion SUMME. Wenn Sie (Pfeil 1) in einer Zelle, z. B. in der Zelle C5, die Inhalte der Zellen C2, C3 und C4 zusammenrechnen möchten, können Sie auch die Funktion SUMME verwenden. Schreiben Sie hierfür (Pfeil 2) zunächst ein Gleichheitszeichen (=) sowie den Namen der Funktion (SUMME). Danach geben Sie innerhalb der Klammern di…“

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[[Datei:Excel-Funktion SUMME.PNG|mini|Nutzung der Funktion SUMME]]

Die nebenstehende Grafik verdeutlicht die Verwendung der Funktion SUMME.
Wenn Sie (Pfeil 1) in einer Zelle, z. B. in der Zelle C5, die Inhalte der Zellen C2, C3 und C4 zusammenrechnen möchten, können Sie auch die Funktion SUMME verwenden. Schreiben Sie hierfür (Pfeil 2) zunächst ein Gleichheitszeichen (=) sowie den Namen der Funktion (SUMME). Danach geben Sie innerhalb der Klammern die Zellen als Argumente an, deren Inhalt Sie addieren möchten. Sie können auch Werte übergeben. Trennen Sie die einzelnen Argumente mit einem Semikolon (;). Falls alle Zellen nebeneinander liegen, können Sie diese auch (Pfeil 3) mit einem Doppelpunkt (:) als Bereich übergeben. Das Ergebnis wird anschließend (Pfeil 4) dargestellt.

Datei:Excel-Funktion SUMME.PNG

Knoll — Fri, 28 Aug 2026 15:11:50 GMT

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Excel-Funktion

Knoll — Fri, 28 Aug 2026 14:58:32 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 28. August 2026, 16:58 Uhr
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	== Ausgewählte, logische Funktionen ==		== Ausgewählte, logische Funktionen ==



			[[Kategorie:Excel]]

Zellen

Knoll — Fri, 28 Aug 2026 14:58:01 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 28. August 2026, 16:58 Uhr
(Eine dazwischenliegende Version desselben Benutzers wird nicht angezeigt)
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	Die verschiedenen Blätter einer '''Excel-Arbeitsmappe''' (Excel-Datei) enthalten '''Zellen''', in die Zahlen, Texte und Formeln eingetragen werden können, um Berechnungen durchzuführen. Dabei kann auch [[Zellbezug\|Bezug]] auf andere Zellen genommen werden, um deren Inhalt zu verwenden. Excel bietet über enthaltene Funktionen außerdem die Möglichkeit, vordefinierte Berechnungen durchführen zu lassen. Die Darstellung der Zellen bzw. ihrer Inhalte kann über Formatierungen angepasst werden.		Die verschiedenen Blätter einer '''Excel-Arbeitsmappe''' (Excel-Datei) enthalten '''Zellen''', in die Zahlen, Texte und Formeln eingetragen werden können, um Berechnungen durchzuführen. Dabei kann auch [[Zellbezug\|Bezug]] auf andere Zellen genommen werden, um deren Inhalt zu verwenden. Excel bietet über enthaltene [[Excel-Funktion\|Funktionen]] außerdem die Möglichkeit, vordefinierte Berechnungen durchführen zu lassen. Die Darstellung der Zellen bzw. ihrer Inhalte kann über Formatierungen angepasst werden.

	== Zellbezeichnung ==		== Zellbezeichnung ==
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	== Mit Formeln Berechnungen durchführen ==		== Mit Formeln Berechnungen durchführen ==
	[[Datei:Excel_Berechnung.PNG\|mini\|right\|Berechnung]]		[[Datei:Excel_Berechnung.PNG\|mini\|right\|Berechnung]]
	Ein Vorteil von einem Tabellenkalkulationsprogramm wie Excel besteht darin, dass Excel Berechnungen durchführen und dabei auch die Inhalte anderer Zellen mit einbeziehen kann oder bestehende Excel-Funktionen nutzt.		Ein Vorteil von einem Tabellenkalkulationsprogramm wie Excel besteht darin, dass Excel Berechnungen durchführen und dabei auch die Inhalte anderer Zellen mit [[Zellbezug\|einbeziehen]] kann oder bestehende [[Excel-Funktion\|Excel-Funktionen]] nutzt.

	'''In der Zelle, in der Sie die Formel eintragen, wird anschließend auch das Ergebnis angezeigt.'''		'''In der Zelle, in der Sie die Formel eintragen, wird anschließend auch das Ergebnis angezeigt.'''

Excel-Funktion

Knoll — Fri, 28 Aug 2026 14:56:00 GMT

Die Seite wurde neu angelegt: „Beim Erstellen einer Formel können auch in Microsoft-Excel enthaltene Funktionen verwendet werden. In der Microsoft Hilfe (externer Link) findet sich eine Übersicht über alle Funktionen ([https://support.microsoft.com/de-de/excel/excel-functions-alphabetical alphabetisch] bzw. nach [https://support.microsoft.com/de-de/excel/excel-functions-by-category Kategorie]). An dieser Stelle soll nur auf einzelne Funktionen aus verschiedenen Bereichen eingegangen…“

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Beim Erstellen einer Formel können auch in Microsoft-Excel enthaltene Funktionen verwendet werden. In der Microsoft Hilfe (externer Link) findet sich eine Übersicht über alle Funktionen ([https://support.microsoft.com/de-de/excel/excel-functions-alphabetical alphabetisch] bzw. nach [https://support.microsoft.com/de-de/excel/excel-functions-by-category Kategorie]). An dieser Stelle soll nur auf einzelne Funktionen aus verschiedenen Bereichen eingegangen werden.

== Grundsätzlicher Aufbau und Verwendung ==
[[Datei:BspFkt.png|mini|Nutzung der Funktion SUMME]]
Einer Funktion können (in den meisten Fällen) Argumente übergeben werden. Damit sind Werte gemeint, die der Funktion übergeben werden und mit denen die Funktion dann eine bestimmte Berechnung o. Ä. durchführt, um anschließend ein Ergebnis zu liefern, das in der Zelle angezeigt wird.
Der Funktion SUMME werden beispielsweise verschiedene Zahlen bzw. Bezüge auf Zellen übergeben, die Funktion liefert anschließend als Ergebnis die Summe der entsprechenden Werte zurück.
In der nebenstehenden Grafik wird der Aufruf verdeutlicht. Zunächst wird in der Zelle C5 ein '''Gleichheitszeichen''' geschrieben, anschließend folgt der '''Name der Funktion''' (hier: SUMME). Direkt dahinter folgen zwei '''Klammern'''. Innerhalb der Klammern folgen die '''Argumente'''. Im Beispiel werden die Zellen C2, C3 und C4 übergeben, die Funktion berechnet die Summe der enthaltenen Werte und liefert diese zurück. Verschiedene Argumente werden hierbei durch ein '''Semikolon''' getrennt.

'''Achtung:''' Für manche Funktionen ist die Reihenfolge der übergebenen Werte nicht relevant (z. B. bei der Funktion SUMME), bei anderen Funktionen ist die korrekte Reihenfolge der Argumente jedoch einzuhalten, da die Funktion eine bestimmte Reihenfolge erwartet.

== Erste, einfache Funktionen ==

== Ausgewählte, logische Funktionen ==

Datei:BspFkt.png

Knoll — Fri, 28 Aug 2026 14:45:30 GMT

Knoll lud Datei:BspFkt.png hoch

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Zellen

Knoll — Fri, 28 Aug 2026 14:25:04 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 28. August 2026, 16:25 Uhr
(Eine dazwischenliegende Version desselben Benutzers wird nicht angezeigt)
Zeile 8:		Zeile 8:
	Durch einen Doppelklick auf eine Zelle, können Texte, Zahlen oder auch Berechnungen eingefügt werden, deren Ergebnis anschließend in der Zelle angezeigt wird. Dabei kann auch der Inhalt anderer Zellen verwendet bzw. angezeigt werden. Hierbei ist es wichtig, auf die Art des [[Zellbezug\|Zellbezuges]] zu achten.		Durch einen Doppelklick auf eine Zelle, können Texte, Zahlen oder auch Berechnungen eingefügt werden, deren Ergebnis anschließend in der Zelle angezeigt wird. Dabei kann auch der Inhalt anderer Zellen verwendet bzw. angezeigt werden. Hierbei ist es wichtig, auf die Art des [[Zellbezug\|Zellbezuges]] zu achten.

	== Berechnungen durchführen ==		== Mit Formeln Berechnungen durchführen ==
	[[Datei:Excel_Berechnung.PNG\|mini\|right\|Berechnung]]		[[Datei:Excel_Berechnung.PNG\|mini\|right\|Berechnung]]
	Ein Vorteil von einem Tabellenkalkulationsprogramm wie Excel besteht darin, dass Excel Berechnungen durchführen und dabei auch die Inhalte anderer Zellen mit einbeziehen kann.		Ein Vorteil von einem Tabellenkalkulationsprogramm wie Excel besteht darin, dass Excel Berechnungen durchführen und dabei auch die Inhalte anderer Zellen mit einbeziehen kann oder bestehende Excel-Funktionen nutzt.

	'''In der Zelle, in der Sie die Formel eintragen, wird anschließend auch das Ergebnis angezeigt.'''		'''In der Zelle, in der Sie die Formel eintragen, wird anschließend auch das Ergebnis angezeigt.'''

	'''Beispiel: '''In der nebenstehenden Grafik wird in der Zelle C4 eine Berechnung durchgeführt, wobei die Inhalte der Zellen C2 und C3 benutzt werden. Um einfache Berechnungen in Excel durchzuführen, wählen Sie (Pfeil 1) zunächst die Zelle aus, in der Sie ein Ergebnis berechnen und anzeigen lassen möchten. Schreiben Sie (Pfeil 2) dann ein Gleichheitszeichen (=). Sie können anschließend mit Hilfe von Operatoren für die Grundrechenarten Berechnungen durchführen und sich dabei auf Zellinhalte beziehen oder Werte eingeben.		'''Beispiel: '''In der nebenstehenden Grafik wird in der Zelle C4 eine Berechnung mit Hilfe einer Formel durchgeführt, wobei die Inhalte der Zellen C2 und C3 benutzt werden. Um einfache Berechnungen in Excel durchzuführen, wählen Sie (Pfeil 1) zunächst die Zelle aus, in der Sie ein Ergebnis berechnen und anzeigen lassen möchten. Schreiben Sie (Pfeil 2) dann ein Gleichheitszeichen (=). Sie können anschließend mit Hilfe von Operatoren für die Grundrechenarten Berechnungen durchführen lassen und sich dabei auf Zellinhalte beziehen oder Werte eingeben.

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